正余弦定理的应用

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1、1正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值解：∵(这是角的关系)，∴(这是边的关系)于是，由合比定理得例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinA＋sinC＝2sinB证明：∵a、b、c成等差数列，∴a＋

2、c＝2b(这是边的关系)①又②③将②、③代入①，得整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系)2正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－

3、2abcos150°＝c2（※）而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长()分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其

4、中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则,①又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程例5已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所

5、以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得①②③由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c）④将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0再将③代入得a＋c＝13由∴b1＝7，b2＝7所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ评述：(1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件

6、得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力六、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：证：左边===0=右边例2在△ABC中，已知，，B=45°求A、C及c解一：由正弦定理得：∵B=45°<90°即b

7、数（2）AB的长度（3）△ABC的面积解：（1）cosC=cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=-∴C=120°（2）由题设：∴AB2=AC2+BC2-2AC•BC•osC即AB=（3）S△ABC=例4如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD,AD=10,AB=14,ÐBDA=60°,ÐBCD=135°求BC的长解：在△ABD中，设BD=x则即整理得：解之：（舍去）由余弦定理：∴例5△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1°求最大角;2°求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1°设三边且∵C为钝角

8、∴解得∵∴或3但时不能构成三角形应舍去当时2°设夹C角的两边为S当时S最大=例6在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长分析：此题所给