正余弦定理的综合应用

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1、正余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用知识梳理1正弦定理：，其中为外接圆的半径。利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2余弦定理：(1)余弦定理：；；在余弦定理中，令=90°，这时s=0，所以2=a2+b2（2）余弦定理的推论：；；利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3三角形面积公式：==4三角形的性质：①A+B+=,,,②在中,＞,＜;A＞B＞,A＞BsA＜sB,a＞bA

2、＞B③若为锐角，则＞,B+＞,A+＞;＞，＞，＋＞(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角一解两解一解若，则无解；（2）当A≥90若a>b,则一解若a≤b，则无解典例剖析题型一三角形多解情况的判断例1根据下列条，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（），，，求．解：（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅

3、有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（）由于为锐角，又，即，∴无解．评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图帮助理解”。题型二正、余弦定理在函数中的应用例2在△AB中，AB＝，A＝3，D为B中点，且AD＝4，求B边长分析：此题所给题设条只有边长，应考虑在假设B为x后，建立关于x的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为B中点，所以BD、D可表示为x2，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设B边为x，则由D为B中点，可

4、得BD＝D＝x2，在△ADB中，sADB＝AD2＋BD2－AB22AD•BD＝42＋（x2）2－22×4×x2在△AD中，sAD＝AD2＋D2－A22AD•D＝42＋（x2）2－322×4×x2又∠ADB＋∠AD＝180°∴sADB＝s（180°－∠AD）＝－sAD∴42＋（x2）2－22×4×x2＝－42＋（x2）2－322×4×x2解得，x＝2所以，B边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型备选题正、余弦定理的综合应用例3在△AB中，已知，求△AB的面积解法1：设AB、B

5、、A的长分别为、a、b，故所求面积解法3：同解法1可得=8又由余弦定理可得故所求面积评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力点击双基一选择题：1在中，，则A为（）解：答案：A2在（）解：由题意及正弦定理可得答案：B3以4、、6为边长的三角形一定是（）A锐角三角形B直角三角形钝角三角形D锐角或钝角三角形解：：长为6的边所对角最大，设它为则答案A4在中，化简___________解：利用余弦定理，得原式答案：a在中，，则_______，________解：又答案：外作业一、选择1在中，，则A等于（）解：由余弦定理及已

6、知可得答案：2在△AB中，已知b=40,=20,=60,则此三角形的解的情况是（）A有一解B有两解无解D有解但解的个数不确定解：bsin=20>,无解答案：3在中，，则三角形为（）A直角三角形B锐角三角形等腰三角形D等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为答案4在中，，则是（）A锐角三角形B直角三角形钝角三角形D正三角形解：原不等式可变形为答案：在△AB中，若，则其面积等于（）ABD解：答案：D6在△AB中，角均为锐角，且则△AB的形状是（）A直角三角形B锐角三角形钝角三角形D等腰三角形解：都是锐角，则答案：7在△AB中，s=,则△AB的形状是（）A正三角形B直角三角形等腰三角形或

7、直角三角形D等腰直角三角形解：原式可化为=，sA+1=sA=由余弦定理，得，a△AB为直角三角形答案：B8在△AB中，A=，B=3，则△AB的周长为（）A4B46D6解：，==2=2,b+==2(sinB+sin())==2()=6a+b+=6答案：D二填空题：9在中，已知，则___________解：由正弦定理得设1份为，则再由余弦定理得答案：10在中，A、B均为锐角，且，则是_________解：由得A、B均为锐角，而在上是增函数即答案：钝