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1、正余弦定理综合应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知ΔABC的内切圆面积为π，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若2b-ccosA=acosC.（1）求角A；（2）当AB·AC的值最小时，求ΔABC的面积.2．设ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=3b-2c.（1）求sinA的值；（2）若b=32sinB，求a的值；（3）若a=6，求ΔABC面积的最大值.3．在平面四边形ABC
2、D中，AD=7，BD=8，∠ABC=π2，cos∠BAD=-17.（1）求∠ABD；（2）若BC⋅BD=24，求CD.4．已知向量m=(2,-1)，n=(sinA2,cos(B+C))，角A，B，C为ΔABC的内角，其所对的边分别为a，b，c.（1）当m⋅n取得最大值时，求角A的大小；（2）在（1）成立的条件下，当a=3时，求b2+c2的取值范围.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．（1）判断△ABC的形状；（2）若f(x)=12cos2x-23c
3、osx+12，求f(A)的取值范围．6．如图：在ΔABC中，b2=a2+c2-23ac，点D在线段AC上，且AD=2DC.（Ⅰ）若AB=2，BD=433．求BC的长；（Ⅱ）若AC=2，求△DBC的面积最大值．7．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB.（1）求角C的大小；（2）若ΔABC的外接圆直径为2，求a2+b2的取值范围.8．在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA
4、-sinB).（1）求角C的大小；（2）求cos2A+cos2B的取值范围。9．设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.10．在中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.参考答案1．(1)A=π3;(2)33.【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得2cosA=1，进而得A=π3；（2）由内切圆的性质得b+c-a=23，由余弦定理得a2=b2+c2-bc，进而得b+c-232=b2
5、+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c≥8bc，bc≥12或bc≤43，又b>3,c>3，所以bc≥12，从而得当b=c时，AB·AC的最小值为6，进而得面积.详解：（1）由正弦定理得2sinB-sinCcosA=sinAcosC，∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB，∵sinB≠0，∴2cosA=1，∴A=π3.（2）由余弦定理得a2=b2+c2-bc，由题意可知ΔABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D,E为切点，可得AI=2,AD=AE=3，则
6、b+c-a=23，于是b+c-232=b2+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c≥8bc，所以bc≥12或bc≤43，又b>3,c>3，所以bc≥12，即AB·AC=12bc∈6,+∞，当且仅当b=c时，AB·AC的最小值为6，此时三角形ABC的面积=12bcsinA=12×12×sinπ3=33.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.2．（1）sinA=53（2）10（3）325【解析】分析：（1）由3acosC=3b-2c利用正弦定理得：3sinAcosC=3s
7、inB-2sinC，3sinAcosC=3sin(A+C)-2sinC，利用两角和的正弦公式化简可得cosA=23，从而可得结果；（2）直接利用正弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得43bc=b2+c2-6≥2bc-6，bc≤9，由三角形面积公式可得SΔABC=12bcsinA=56bc，从而可得结果.详解：（1）ΔABC中，3acosC=3b-2c由正弦定理得：3sinAcosC=3sinB-2sinC∴3sinAcosC=3sin(A+C)-2sinC∴3cosAsinC=2sinC∵
8、sinC≠0，∴cosA=23∵A∈(0,π)，∴sinA=53（2）由b=32sinB，得bsinB=32∴asinA=32，∴a=32×53=10（3）由（1）知sinA=53SΔABC=12bcsinA=56bc由余弦定理得：cosA=b2+c2-a22bc，a=6∴43bc=b2+c2-6≥2bc-6∴bc≤9（当且仅当b=c时取“=”号）SΔABC=56bc≤56×9=325即ΔABC面积的最大值为325点睛：以三角
