(整理)正余弦定理综合应用.doc

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1、正余弦定理综合应用学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、解答题1.已知ΔABC的内切圆面积为π,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2b-ccosA=acosC.(1)求角A;(2)当AB·AC的值最小时,求ΔABC的面积.2.设ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=3b-2c.(1)求sinA的值;(2)若b=32sinB,求a的值;(3)若a=6,求ΔABC面积的最大值.试卷第5页,总5页3.在平面四边形ABCD中,AD=7,BD=8,

2、∠ABC=π2,cos∠BAD=-17.(1)求∠ABD;(2)若BC⋅BD=24,求CD.4.已知向量m=(2,-1),n=(sinA2,cos(B+C)),角A,B,C为ΔABC的内角,其所对的边分别为a,b,c.(1)当m⋅n取得最大值时,求角A的大小;(2)在(1)成立的条件下,当a=3时,求b2+c2的取值范围.试卷第5页,总5页5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB-bcosC=ccosB.(1)判断△ABC的形状;(2)若f(x)=12cos2x-23cosx+12,求f(A)的取值范围.6.如图:在ΔA

3、BC中,b2=a2+c2-23ac,点D在线段AC上,且AD=2DC.(Ⅰ)若AB=2,BD=433.求BC的长;(Ⅱ)若AC=2,求△DBC的面积最大值.试卷第5页,总5页7.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB.(1)求角C的大小;(2)若ΔABC的外接圆直径为2,求a2+b2的取值范围.8.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB).(1)求角C的大小;(2)求cos2A+cos2B的取值范围。试

4、卷第5页,总5页9.设函数.(1)求的最大值,并写出使取最大值时的集合;(2)已知中,角的边分别为,若,求的最小值.10.在中,角所对的边分别为,且.(1)若依次成等差数列,且公差为,求的值;(2)若,试用表示的周长,并求周长的最大值.试卷第5页,总5页本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。参考答案1.(1)A=π3;(2)33.【解析】分析:(1)由正弦定理将边化角得2cosA=1,进而得A=π3;(2)由内切圆的性质得b+c-a=23,由余弦定理得a2=b2+c2-bc,进而得b+c-232=b2+c2-bc,化简得43+3bc=

5、4b+c≥8bc,bc≥12或bc≤43,又b>3,c>3,所以bc≥12,从而得当b=c时,AB·AC的最小值为6,进而得面积.详解:(1)由正弦定理得2sinB-sinCcosA=sinAcosC,∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB,∵sinB≠0,∴2cosA=1,∴A=π3.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-bc,由题意可知ΔABC的内切圆半径为1,如图,设圆I为三角形ABC的内切圆,D,E为切点,可得AI=2,AD=AE=3,则b+c-a=23,于是b+c-232=b2+c2-bc,化简得43+3bc=4

6、b+c≥8bc,所以bc≥12或bc≤43,又b>3,c>3,所以bc≥12,即AB·AC=12bc∈6,+∞,当且仅当b=c时,AB·AC的最小值为6,此时三角形ABC的面积=12bcsinA=12×12×sinπ3=33.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.答案第9页,总9页本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。2.(1)sinA=53(2)10(3)325【解析】分析:(1)由3acosC=3b-2c利用正弦定理得:3sinAcosC=3sinB-2sinC,3sinAcosC=3sin(A

7、+C)-2sinC,利用两角和的正弦公式化简可得cosA=23,从而可得结果;(2)直接利用正弦定理可得结果;(3)由余弦定理,利用基本不等式可得43bc=b2+c2-6≥2bc-6,bc≤9,由三角形面积公式可得SΔABC=12bcsinA=56bc,从而可得结果.详解:(1)ΔABC中,3acosC=3b-2c由正弦定理得:3sinAcosC=3sinB-2sinC∴3sinAcosC=3sin(A+C)-2sinC∴3cosAsinC=2sinC∵sinC≠0,∴cosA=23∵A∈(0,π),∴sinA=53(2)由b=32sinB,得bs

8、inB=32∴asinA=32,∴a=32×53=10(3)由(1)知sinA=53SΔABC=12bcsinA=56bc

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