正、余弦定理的应用举例

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1、正、余弦定理的应用举例222正、余弦定理的应用举例（2）知识梳理2解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段解决实际问题，是学习数学的根本目的。3解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。典例剖析题型一正、余弦定理在几何中的应用例1如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点在AB的延长线上，B＝1，点P为半圆上的一个动点，以D为边作等边△PD，且点D与圆心分别在P的两侧，求四边形PD面积的最大值解：设∠PB＝θ

2、，四边形面积为ｙ，则在△P中，由余弦定理得：P2＝P2＋2－2P•sθ＝－4sθ∴ｙ＝Ｓ△P＋Ｓ△PD＝＋(－4sθ)＝2sin(θ－)＋∴当θ－＝即θ＝时，ｙax＝2＋评述：本题中余弦定理为表示△PD的面积，从而为表示四边形PD面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαsβ＋sαsinβ的构造及逆用，应予以重视题型二正、余弦定理在函数中的应用例2如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上

3、，起初甲离点千米，乙离点千米，后两人同时用每小时千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，则，∴起初，两人的距离是．（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，则，，当时，；当时，，所以，．（3），∴当时，即在第分钟末，最短。答：在第分钟末，两人的距离最短。评析：（2）中，分0t和t>两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。备选题正、余弦定理的综合应用

4、例3如图，已知△AB是边长为1的正三角形，、N分别是边AB、A上的点，线段N经过△AB的中心G，设GA＝៹（）（1）试将△AG、△AGN的面积（分别记为S1与S2）；表示为៹的函数，（2）求＝的最大值与最小值。解析：（1）因为G是边长为1的正三角形AB的中心，所以AG＝，AG＝，由正弦定理得，则S1＝G•GA•sin៹＝。同理可求得S2＝。（2）＝＝＝72（3＋t2៹）因为，所以当៹＝或៹＝时，取得最大值ax＝240，当៹＝时，

5、取得最小值in＝216。点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点。点击双基1．在△AB中，，则△AB的面积为（）ABD1解：S==4sin10sin0sin70=4s20s40s80====答案：2如图所示:在一幢20高的楼顶A测得对面一塔顶的仰角为60,塔基D的俯角为4,则这座塔的高是()A20B10(10+10)D(20+20)解：可知BAD=4,AE=20,AB=20,BA=60,B=ABtan60=20所以这座塔的高D=(20+20

6、)答案：D3．在△AB中，根据下列条解三角形，则其中有两个解的是（）A．b=10，A=4°，B=70°B．a=60，=48，B=100°．a=7，b=，A=80°D．a=14，b=16，A=4°解：A,B可根据余弦定理求解，只有一解，选项中，A为锐角，且a>b,只有一解选项D中所以有两个解。答案：D4一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西70，则这艘船是每小时航行____。解：10海里．某人站在顶向下看一列车队向脚驶，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看

7、见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（）ABD不能确定大小解：依题意知B=,D=,BA=AD△AB中,△AD中,B<D,即答案：后作业1有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A1公里Bsin10°公里s10°公里Ds20°公里答案：A2边长分别为，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A90B12013D10解：用余弦定理算出中间的角为60答案：B3下列条中，△AB是锐角三角形的是（）AsinA+sA=B•＞0tanA+tanB+tan＞0D