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时间:2018-11-10
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1、正余弦定理的应用举例!正、余弦定理的应用举例(1)知识梳理一、解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解二.测量的主要内容是求角和距离,教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念,将实际问题转化为解三角形问题.三.解决有关测量、航海等问题时
2、,首先要搞清题中有关术语的准确含义,再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系,最后用正弦定理、余弦定理予以解决.典例剖析题型一距离问题例1.如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?解:如图,连结,由已知,,,又,是等边三角形,,由已知,,,在中,由余弦定理, ..因此,乙船的速度的大小为(海里/小时).答:乙船每小时航行海里
3、.题型二高度问题例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4,求的大小和建筑物AE的高。解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中, AC=BC=30, AD=DC=10, ADC=180-4, =。 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15, 在RtADE中,AE=ADsin60=15答:所求角为15,建筑物高度为15m解法二:(设方程来求解)设DE=x,AE=h 在RtACE中,(
4、10+x)+h=30 在RtADE中,x+h=(10) 两式相减,得x=5,h=15 在RtACE中,tan2==2=30,=15答:所求角为15,建筑物高度为15m解法三:(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=x,由题意,得BAC=, CAD=2, AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中,sin2=------① 在RtADE中,sin4=,----②②①得 cos2=,2=30,=15,AE=ADsin60=15答:所求角为15,建筑物高度为15m评析:根据题意正确画出图形是解题的关键,同时要把题意中的数
5、据在图形中体现出来。备选题角度问题例3.如图1-3-2,某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在处获悉后,测出该渔轮在方位角为,距离为的处,并测得渔轮正沿方位角为的方向,以的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到,时间精确到).解:设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮,则,,又,.由余弦定理,得,即.化简,得,解得(负值舍去).由正弦定理,得,所以,方位角为.答舰艇应沿着方向角的方向航行,经过就可靠近渔轮.评析:本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际,
6、找出等量关系,在画示意图时,要注意方向角的画法。点击双基一.选择题:1.在△ABC中,下列各式正确的是 ( )A.ab=sinBsinA B.asinC=csinBC.asin(A+B)=csinA D.c2=a2+b2-2abcos(A+B) 解:根据正弦定理得,又sinC=sin(A+B), asin(A+B)=csinA答案:C2.海上有A、B两个小岛相距10nmile,从A岛望B岛和C岛成60°的视角,从B岛望A岛和C岛成75°角的视角,则B、C间的距离是
7、 ( )A.52nmile B.103nmile C.1036nmile D.56nmile 解:根据题意知:AB=10,A=60°,B=75°则C=45°,a===56答案:D3.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为()?A.米? B.米C.200米 D.200米 解:如图,设塔高AB为h, Rt△CDB中,CD=200,∠BCD=90°-60°=30° 在△ABC中,∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30° ∴ ∠BAC=120° ∴ ∴ (m
8、)答案:A 4.某人以时速akm向东行走,此时正刮着时速akm的南风,那么此人感到的风向为 ,风速为 .
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