正余弦定理应用举例

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1、主备人：张荟审核人：胡志勇备课组长：岳家鹏使用时间：第1周第5课时班级：班姓名：学案序号：51.2正余弦定理应用举例一、【学习目标】了解用正余弦定理解决应用题的常见题型二、【学习重点】测量距离问题、高度问题、角度问题、航海问题等三、【学习难点】测量距离问题、高度问题、角度问题、航海问题等四、【学习过程】（一）复习引入1、正余弦定理：2、正余弦定理变形式：（二）新知探究实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．(2)方位角：从某点的指北方向线起按顺时

2、针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为(如图(b))．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．（三）典例分析【例1】如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解　在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝(千米)，在△BDC中，∠CBD＝18

3、0°－45°－75°＝60°.由正弦定理得BC＝＝(千米)．在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，即AB2＝()2＋2－2·cos75°＝5.∴AB＝(千米)．所以，两目标A，B间的距离为千米．【练习1】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．【例2】甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．【练习2】(2010·山东)如图，

4、甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？（四）小结1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．3．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到

5、达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．4．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．青春就是拼了命，尽全力，乘梦飞翔。____________________________________________________________________________________________五、【当堂检测】1．如图，A、N两点之间的距离为________．2．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定

6、两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为______．3．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)．A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°4.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)．A．50mB．50mC．25mD．25m5．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得

7、望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为(　　)A．30＋30mB．30＋15m济南二中2014级高二上学期数学导学案第页共页青春就是拼了命，尽全力，乘梦飞翔。____________________________________________________________________________________________C．15＋30mD．15＋3m六、作业题1．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°

8、，则这艘船的速度是每小时