数学新学案同步 必修2 人教B版（鲁京辽）第二章 平面解析几何初步 .ppt

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1、2.3.2圆的一般方程第二章§2.3圆的方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？知识点　圆的一般方程答案对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.梳理方程条件

2、图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F>0[思考辨析判断正误]1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.()2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.()3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()√×√题型探究例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.类型一　圆的一般方程的概念解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解答反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表

3、示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为__________，半径为___.解析答案解析由圆的一般方程知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.∴a＝2不符合题意；当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－

4、2，－4)，半径为5.(－2，－4)5(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为___.解析答案由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴该圆的面积为9π.9π例2已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程；类型二　求圆的一般方程解设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，解答即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.解由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋1

5、2＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.解答引申探究若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？解答反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.解答令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③解方法一(待定系数法)

6、设圆的一般方程方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴

7、y1－y2

8、2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二(几何法)由题意，得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).解得a＝1或a＝5，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.类型三　求轨迹方程例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上.(1)求圆C的方程；解答所以直

9、线m的方程为x－3y－3＝0.所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解答解设点M(x，y)，Q(x0，y0).因为点P的坐标为(5,0)，又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足