数学新学案同步必修2人教B版（鲁京辽）第二章平面解析几何初步.docx

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1、§2.3　圆的方程2.3.1　圆的标准方程学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．知识点一　圆的标准方程思考1　确定圆的标准方程需要知道哪些条件？答案　圆心坐标与圆的半径．思考2　在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案　能．梳理　圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准

2、方程为x2＋y2＝r2.知识点二　点与圆的位置关系思考　点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则

3、OA

4、，

5、OB

6、，

7、OC

8、同圆的半径r＝2是什么关系？答案　

9、OA

10、<2，

11、OB

12、>2，

13、OC

14、＝2.梳理　点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上

15、CM

16、＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外

17、CM

18、>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内

19、CM

20、

21、(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　×　)2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　√　)3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　×　)类型一　求圆的标准方程命题角度1　直接法求圆的标准方程例1　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________________．答案　(x－2)2＋y2＝9解析　设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，由题意知，＝，解得a＝2，∴C(2,0)．则圆C的半径为

22、r＝

23、CM

24、＝＝3.∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为______________________．答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.反思与感悟　(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到

25、平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．跟踪训练1　以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝25答案　D解析　∵AB为直径，∴圆心为AB的中点(1,2)，半径为

26、AB

27、＝＝5，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.命题角度2　待定系数法求圆的标准方程例2　求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1

28、＝0上的圆的方程．解　方法一　(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由解得∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.方法二　(直接法)由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由得即圆心坐标为(4，－3)，半径为r＝＝5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.反思与感悟　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2　已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．解　方法一　设所求圆的标

29、准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.方法二　因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB中点的坐标为，直线AB的斜率为kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝·，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.由得圆心坐标为(－3,1)．又圆的半径r＝＝5，故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.类型二　点与

30、圆的位置关系例3　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．不确定答案　B解析　由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是