2020年高三数学大串讲第13讲（三角形中的面积、边与角的范围问题）（解析版）.doc

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1、第13讲（三角形中的面积、边与角的范围问题）【目标导航】应用三角公式解决问题的三个变换角度求角的大小，经常会因为忽略角的取值范围而导致增解．另外，在求角的大小时，一般地，应首先确定所求角的范围，然后根据角的范围来确定求角的哪个三角函数，通常所选择的那个三角函数应该在范围内是单调的．(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公

2、式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【例题导读】例1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是(　　)A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2]【答案】　B【解析】A＝3B⇒＝＝＝＝＝2cos2B＋cos2B＝2cos2B＋1，即＝＝2cos2B＋1，又A＋B∈(0，π)，即4B∈(0，π)⇒2B∈⇒cos2B∈(0,1)，∴∈(1,3).例2、将函数f(x)＝sin2x

3、的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，则以函数f(x)与g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．【答案】　【解析】平移后的函数g(x)＝sin.令f(x)＝g(x)，得sin2x＝sin.解法12x－＝π－2x＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，(－，－)，.故所求面积为S＝×π×＝π.解法2sin2x＝sin＝sin2xcos－cos2x·sin＝sin2x－cos2x，即sin＝0，则有2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－＋(k∈Z)，相邻的

4、三个交点为，，.则所求面积S＝×π×＝π.例3、△ABC的周长为10＋2，且满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，则△ABC的面积为(　　)A.6B.4C.8D.12【答案】A【解析】由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，可得a∶b∶c＝2∶3∶，于是可设a＝2k，b＝3k，c＝k(k>0)，由余弦定理可得cosB＝＝＝，∴sinB＝＝.又2k＋3k＋k＝10＋2，∴k＝2，即a＝4，c＝2，∴S△ABC＝acsinB＝·4·2·＝6，即△ABC的面积为6.例4、在△ABC中，角

5、A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝45°，c＝3，点P是平面ABC内的一个动点，若∠BPC＝60°，则△PBC面积的最大值是________.【答案】【解析】∵A＝30°，C＝45°，c＝3，∴由正弦定理＝，可得a＝＝＝.又∠BPC＝60°，∴在△PBC中，令PB＝m，PC＝n，由余弦定理可得cos∠BPC＝＝，∴m2＋n2－＝mn≥2mn－(当且仅当m＝n＝时等号成立)，∴mn≤，∴Smax＝mnsin∠BPC＝.例5、设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命

6、题正确的是(　　)①若a2＋b2；②若ab>c2，则C>；③若a3＋b3＝c3，则C<；④若2ab>(a＋b)c，则C>；⑤若c2<2a2b2，则C<.A.①②③B.①②⑤C.①③④D.①③⑤【答案】　D【解析】对于①，a2＋b2，故正确；对于②，ab>c2⇒cosC＝>＝，得出C<，故错误；对于③，其逆否命题为“若C≥，则a3＋b3≠c3”.当C≥时，c2≥a2＋b2⇒c3≥ca2＋cb2>a3＋b3，即a3＋b3≠c3成立，故正确；对于④，取

7、a＝b＝2，c＝1，满足2ab>(a＋b)c，利用余弦定理得C<<，故错误；对于⑤，因为2abc2≤(a2＋b2)c2<2a2b2，所以有c2＝，所以C<，故正确，所以正确命题的序号是①③⑤.例6、已知cosα＝，α∈.(1)求sin的值；(2)若cos(α＋β)＝，β∈，求β的值．【解析】(1)由cosα＝，α∈，得sinα＝＝＝.所以sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝.(2)因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝，则sin(α＋β)＝＝＝.

8、所以sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.因为β∈，所以β＝.例7、如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.(1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的大小．【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于点A，且点A的横坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知cosα＝，从而sinα＝＝.因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的