2020年高三数学大串讲第12讲（正、余弦定理在解三角形中的应用问题）（解析版）.doc

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1、第12讲（正、余弦定理在解三角形中的应用问题）【目标导航】正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。无论是在利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，还是利用三角恒等式消元的过程中都需要有较强的目标意识

2、．本题通过不同角度的消元将问题转化为利用基本不等式求最值的问题进行解决．由目标式的结构则容易联想利用斜三角形中的恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC将问题作进一步处理.三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇．不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求.【例题导读】例1、如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长

3、．ABCD第15题)【解析】（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．例2、如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面积．【解析】(1)因为·＝cos∠BAC，所以cos∠BAC＝＝＝.(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝.由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝.因为∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝＝＝.(3)由(1)知，cos∠BAC＝.因为∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝＝＝.从而si

4、n∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD＝×＋×＝.所以S△BAD＝AB·AD·sin∠BAD＝×13×5×＝28.例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.例4、在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则＋＋的最小值为________．【解析】因为2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得2a

5、2＋b2＝2c2由余弦定理及正弦定理可得cosC＝＝＝＝又因为sinB＝sin＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC所以cosC＝＝＋可得tanC＝3tanA，代入tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC得tanB＝所以＋＋＝＋＋＝＋因为A∈，所以tanA>0，所以＋≥2＝当且仅当＝，即tanA＝时取“＝”．所以＋＋的最小值为.解法2：过点B作BD⊥AC于D，设AD＝x，DC＝y，BD＝h，则tanA＝，tanC＝.同解法1可得tanC＝3tanA，tanB＝则＝即x＝3y，tanB＝＝所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋≥当且仅当＝即y＝y时取“＝”．所以＋＋的最小值

6、为.例5、在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sinC－sinB)，n＝(b＋c，sinA＋sinB)，且m∥n.(1)求角C的大小；(2)若c＝3,求△ABC的周长的取值范围．【解析】(1)由m∥n及m＝(a，sinA－sinB)，n＝(b＋c，sinA＋sinB)得a(sinA＋sinB)－(b＋c)(sinC－sinB)＝0，由正弦定理，得：a－(b＋c)＝0，所以a2＋ab－(c2－b2)＝0，得c2＝a2＋b2＋ab，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcoC，所以a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，所以ab＝－2abcosC，因为

7、ab>0，所以cosC＝－，又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.所以a2＋b2－2abcos＝9，即(a＋b)2－ab＝9.所以ab＝(a＋b)2－9≤，所以≤9，即(a＋b)2≤12，所以a＋b≤2，又因为a＋b>c，所以6