2020年高三数学大串讲第20讲（数列中的新定义问题）（解析版）.doc

《2020年高三数学大串讲第20讲（数列中的新定义问题）（解析版）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第20讲数列中的新定义问题【目标导航】解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质．第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质．【例题导读】例1、数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，．（Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：；（Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则因为，所以，所以=．（Ⅱ）令，则，令

2、，则，所以，根据已知条件可知，，所以，将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是．例2、若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．【解析】．所以数列是“数列”．（2）由题意可得：，则数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为，数列，，，是等差数列，设其公差为．因为，所以，所以，所以①，②．若，则当时，①不成立；若

3、，则当时，②不成立；若，则①和②都成立，所以．同理得：，所以，记．设，则．同理可得：，所以，所以是等差数列．【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以数列是等差数列．例3、已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．【解析】（1）当时，由，得，得，由，得，两式相减，得，即，即因为数列各项均为正数，所以，所以所以数列是以为首项，为公差的等差数列．因此，

4、，即数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以所以所以令，则所以是单调递增数列，数列递增，所以，又，所以的取值范围为．（3）设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，．因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以．又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾．又因为，所以，即偶数只有两项，则奇数最多有项，即的最大值为．设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，

5、且．由，得，，此数列为，，，，．同理，若从大到小排列，此数列为，，，，．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，．例4、已知数列满足记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求；（3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由．【解析】（2），所以，当为奇数时，可令，则，当为偶数时，可令，则；（3）假设存在正整数，使得成立，因为，，所以只要即只要满足①：，和②：，对于①只要就可以；对于②，当为奇数时，满足，不成立，当为偶数时，满足，即，令，因为，即，且当时，，所以当为偶数时，②式成立，即当为偶数时，成立．例5、记．对数列和的子集T

6、，若，定义；若，定义．例如：时，．现设是公比为3的等比数列，且当时，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：．【解析】1）由已知得．于是当时，．又，故，即．所以数列的通项公式为．（2）因为，，所以．因此，．（3）下面分三种情况证明．①若是的子集，则．②若是的子集，则．③若不是的子集，且不是的子集．令，则，，．于是，，进而由，得．设是中的最大数，为中的最大数，则．由（2）知，，于是，所以，即．又，故，从而，故，所以，即．综合①②③得，．例6、设数列A：，，…()．如果对小于()的每个正整数都有＜，则称是数列A的一个“G时刻”．记“是数列A

7、的所有“G时刻”组成的集合．（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得>，则；（3）证明：若数列A满足-≤1（n=2，3，…，N），则的元素个数不小于-．【解析】（2）因为存在使得，所以．记，则，且对任意正整数．因此，从而．（3）当时，结论成立．以下设．由（Ⅱ）知．设，记．则．对，记．如果，取，则对任何．从而且．又因为是中的最大元素，所以．从而对任意，，特别地，．对．因此．所以．【反馈练习】1．定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．设数列中（1）若，且数列是“数列”，求数列