2020年高三数学大串讲第07讲（三次函数的导数问题）（解析版）.doc

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1、第07讲（三次函数的导数问题）【目标导航】运用三次函数的图像研究零点问题,三次函数的单调性问题,三次函数的极值与最值问题。【例题导读】例1、若x3－x2＋ax－a＝0只有一个实数根，求实数a的取值范围．【解析】令f(x)＝x3－x2＋ax－a，则f′(x)＝x2－2x＋a.∵f(x)＝0有一个实数根，∴f′(x)＝0的Δ≤0或者f(x)极大值＜0或者f(x)极小值＞0.①f′(x)＝0的Δ≤0，解得a≥1；②当a＜1时，设x1，x2为f′(x)＝x2－2x＋a＝0的两个根(x1＜x2)，x1＝1－，x2＝1＋，f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x

2、2)上单调递减．1°若f(x)极大值＜0，即f(x1)＜0，∴f(x1)＝x－x＋ax1－a＝x1(2x1－a)－(2x1－a)＋ax1－a＝x＋x1＝(2x1－a)＋x1＝x1－a＝[(a－1)x1－a]＜0，∴x1＞，即1－＞，解得(1－a)＜1，即()3＜1，得0＜a＜1；2°若f(x)极小值＞0，即f(x2)＞0，同理f(x2)＝[(a－1)x2－a]＞0.∴x2＜，即1＋＜，解得－(1－a)＞1，即()3＜－1，无解．综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)．另解：令f(x)＝x3－x2＋ax－a，则f′(x)＝x2－2x＋a.∵f(x)＝0有一个实数根，∴f′(

3、x)＝0的Δ≤0或者f(x1)·f(x2)＞0(x1，x2是f(x)的极值点)．①f′(x)＝0的Δ≤0，解得a≥1；②由x1，x2为f′(x)＝0的两个根，得(a＜1)于是f(x1)＝x－x＋ax1－a＝x1(2x1－a)－(2x1－a)＋ax1－a＝x＋x1＝(2x1－a)＝x1＝x1－a，同理可得f(x2)＝x2－a，于是有f(x1)·f(x2)＝＞0.当a＜1时，＞0⇒x1x2－(x1＋x2)＋2＞0，又∵x1，x2是方程x2－2x＋a＝0的根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝a，化简可得a(a2－3a＋3)＞0，解得0＜a＜1；综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)

4、.例2、已知函数f(x)＝x3－x2，g(x)＝－kx，若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．【解析】∵f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，∴f(x)＝g(x)有三个不等实根．令h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋kx－，则h′(x)＝x2－(k＋1)x＋k＝(x－k)(x－1)，根据题意得k≠1且h(1)·h(k)＜0，化简可得＜0，即－(k－1)(k2－2k－2)＜0，∴k2－2k－2＞0，解得k＞1＋或k＜1－，∴实数k的取值范围是(－∞，1－)∪(1＋，＋∞).例3、设函数f(x)＝x3－x2＋1，其中a＞0，若过点(0,2

5、)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求实数a的取值范围．【解析】∵f′(x)＝x2－ax，设切点为(t，f(t))，切线方程为y＝(t2－at)(x－t)＋t3－t2＋1，代入(0,2)化简可得t3－t2＋1＝0，设g(t)＝t3－t2＋1，令g′(t)＝0，有t1＝0，t2＝＞0.∵过点(0,2)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，∴g(t)＝0有三个不同的根，故解得a＞，∴实数a的取值范围是(，＋∞)．例4、已知函数f(x)＝x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝

6、f(x)

7、－(x＋a)

8、(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．【解析】(1)由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.又f(0)＝0，f()＝，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－＝x－即y＝x与y＝x－.(2)证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.令g′(x)＝0得x＝0或x＝.g′(x)，g(x)的情况如表71所示.x－2(－2,0)0(0，)(，4)4g′(x)＋－＋g(x)－6

9、0－0表71　　　所以g(x)的最小值为－6，最大值为0.故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a＜－3时，M(a)≥F(0)＝

10、g(0)－a

11、＝－a＞3；当a＞－3时，M(a)≥F(－2)＝

12、g(－2)－a

13、＝6＋a＞3；当a＝－3时，M(a)＝3综上，当M(a)最小时，a＝－3.例5、已知函数f(x)＝其中常数a∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(－x)＋f(x)＝ex－3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a的取值范围；【解析】(1)当a＝2时，f