2020年高三数学大串讲第06讲（探究函数零点问题）（解析版）.doc

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1、第06讲（探究函数零点问题）【目标导航】函数零点问题中参数的范围，函数零点个数证明与讨论，函数零点问题的不等式的证明【例题导读】例1、设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)　【解析】解法1(直接法)当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2－3m，令f′(x)＝0，则x2－m＝0，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m>0，所以函数f(x)

2、在(－∞，－)上为增函数，在(－，0]上为减函数，即f(x)max＝f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－2<0，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f(x)max＝2m－2>0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数)当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x<0)，则y′＝2x＋＝，当x∈(－∞，－1)时，

3、y′<0，此时函数单调递减；当x∈(－1，0)时，y′>0，此时函数单调递增，故ymin＝3，因此，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m>3，即m>1.例2、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为【答案】5　【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5

4、x

5、＝0，得f(x)＝log5

6、x

7、，分别画出y＝f(x)和y＝log5

8、x

9、的图像，如下图，由f(5)＝f(

10、1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5

11、－3

12、<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5

13、－7

14、＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.例3、已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．【解析】(1)由g(－1)＝0知，g(x)的图像过点(－1，0)．若a<0，F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－ax－b在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1.(10分)以下证明当

15、b>1时，F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点．①若a<0.由于F(0)＝1－b<0，F＝e－－a－b＝e－>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在上必有零点．②若a≥0.由(2)知ex>x2＋1>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立．取x0＝a＋b，则F(x0)＝F(a＋b)＝ea＋b－a(a＋b)－b>(a＋b)2－a2－ab－b＝ab＋b(b－1)>0.由于F(0)＝1－b<0，F(a＋b)>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0，a＋b)上必有零点．综上得实数b的取值范围是(1，＋∞)．例4、已知函数f(x)＝ax3＋b

16、x2－4a(a，b∈R)．(1)当a＝b＝1时，求f(x)的单调增区间；(2)当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值；【解析】(1)当a＝b＝1时，f(x)＝x3＋x2－4，f′(x)＝3x2＋2x.(2分)令f′(x)>0，解得x>0或x<－，所以f(x)的单调增区间是和(0，＋∞)．(4分)(2)法一：f′(x)＝3ax2＋2bx，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－，(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f＝0.当f(0)＝0时，得a＝0，不合题意，舍去；(8分)当f＝0时，代入得a＋b－4a＝0，即－＋－4＝0，所以＝3.(10分)法二：由于a≠0，所

17、以f(0)≠0，由f(x)＝0得，＝＝－x(x≠0)．(6分)设h(x)＝－x，h′(x)＝－－1，令h′(x)＝0，得x＝－2，当x∈(－∞，－2)时，h′(x)<0，h(x)递减；当x∈(－2，0)时，h′(x)>0，h(x)递增，当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x>0时，h(x)的值域为R，故不论取何值，方程＝＝－x恰有一个根－2，此时函数f(x)＝a(x＋2)2(