2020年高三数学大串讲第14讲（以向量形式出现的三角函数问题）（解析版）.doc

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1、第14讲（以向量形式出现的三角函数问题）【目标导航】平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值．【例题导读】例1、在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．【答案】【解析】此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．cos

2、∠BAC＝．＝．例2、在直角中，，是斜边上的两个三等分点，已知的面积为2，则的最小值为______．【答案】【解析】如图，以为坐标原点，分别以，为、轴建立直角坐标系，设，∵，，，∴，，，当且仅当即时取“”，．故答案为．例3、如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________．【答案】8【解析】以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，设，则，，，，，，，显然当取得最大值4时，取得最小值8．故答案为8．例4、在三角形中，，，若对任意的恒成立，则角的取值范围为__

3、___．【答案】【解析】如图，由，即恒成立，同时除以得：，，当且仅当时等号成立，所以，又因，所以，故答案为．例5、若三角形为直角三角形则以两个直角边为x轴，y轴。若为等腰三角形或者等边三角形则以底边和底边上的高分别为为x轴，y轴。若为一般的三角形则要合理的建系，目的是为了更好地表示点坐标。例3、(2019苏锡常镇调研）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则·的最大值为________．【答案】－　【解析】解法1(坐标法)　以A为原点，AB为

4、x轴，AC为y轴建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)，D，E，设P(p，0)，Q(0，q)，则p>0，q>0，且直线PQ：＋＝1，因为点E在直线PQ上，所以＋＝1，·＝(－2，q)·(p，－1)＝－2p－q＝(－2p－q)＝－－≤－－2＝－，当且仅当＝，即p＝q＝时取“＝”，所以·的最大值是－.例6、已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则·的值为________．【答案】.【解析】解法：　建立如图所示平面直角坐标系，A(0

5、，)，B(－1，0)，C(1，0)，D，E(0，0)，设点F(x0，y0)由DE＝3EF得＝3，故＝3(x0，y0)，故x0＝，y0＝－，所以＝，故·＝·(2，0)＝.例7、在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为________．【答案】－1　【解析】解法(坐标法)以A为原点，AC为x轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，)，C(3，0)，设P(x，y)．由＝＋2得(x－3，y)＝(1－x，－y)＋2(－x，－y)，得x＝1，y＝，所以P，·＝·(1，

6、)＝－2＋1＝－1.【反馈练习】1、已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(＋)·＝4.若AD＝，则·的值为________．【答案】2　【解析】解法　建立如图所示的平面直角坐标系，设B(b，0)，C(c，0)，P(0，p)，A(0，)，则＝(b，－p)，＝(c，－p)，＝(0，－)，由(＋)·＝(b＋c，－2p)·(0.－)＝2p＝4，解得p＝2因为AB⊥AC，所以·＝(b，－)·(c，－)＝bc＋2＝0，解得bc＝－2，所以·＝(b，－p)·(c，－p)＝bc＋p2＝－2＋22＝2.2、在△

7、ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ的值为________．【答案】　【解析】解法(坐标运算法)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，设点M的坐标为(x，y)，则(x－3，y)＝λ(－1－3，)，即故·＝(3－4λ，λ)·(－4，)＝19λ－12＝－，解得λ＝.3、在△ABC中，P是边AB的中点，已知

8、

9、＝，

10、

11、＝4，∠ACB＝，则·＝________．【答案】6【解析】解法(坐标法)如图建立平面直角坐标系．设C(0，0)，B(x，0)，A(－2，

12、2)，则P.由

13、

14、＝，得x＝2.所以·＝(0，)·(－2，2)＝6.4、如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧上的一动点，则·的取值范围是________．【答案】[－11，