2020年高三数学大串讲第15讲（平面向量共线定理、数量积等问题）（解析版）.doc

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1、第15讲（平面向量共线定理、数量积等问题）【目标导航】向量的共线定理与平面向量的线性运算,平面向量的基本定理的应用,平面向量基本定理的综合运用,运用平面向量的基底解决向量的数量积,运用坐标法建系解决向量的数量积,平面向量数量积的综合应用.【例题导读】例1、在四边形ABCD中，已知＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________．【答案】.梯形【解析】、因为＝＋＋＝(a＋2b)＋－4a－b＋(－5a＋－3b)＝－8a－2b所以，＝2，即AD∥BC，且

2、AD

3、≠

4、BC

5、，所以，四边形ABCD是梯形．例2、如图，在中，，分别为

6、边，的中点.为边上的点，且，若，，则的值为.【答案】：【解析】、：因为为的中点，所以，故，。例3、如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则_______，___________．【答案】，．【解析】、设与，同方向的单位向量分别为，，依题意有，又，，则，所以，．例4、如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为．ABCDEFK【答案】．【解析】、因为点F，K，E共线，故可设又，所以，解得．例5、设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x的值是________．【答案】4　【解析】、因为a＝(

7、1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.例6、已知点C，D，E是线段的四等分点，为直线外的任意一点，若，则实数的值为．【答案】：【解析】、因为，所以．例7、已知为的外心，若，则=．【答案】【解析】、：由已知等式得，平方得，故，得，若为锐角，则与反向，与条件矛盾，故例8、如图，正六边形中，若（），则的值为▲．【答案】【解析】、：建系（坐标法）如图设六边形边长为2，,，，,由得：，故.ABCDEF（第1题）ABC623.5（第2题）E例9、已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，

8、则λμ＝________．【答案】－　解法1(转化法)如图，因为＋＋2＝0，所以＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋－)＝0，所以，3－＋2＝0，即－＋＝0，所以λ＝，μ＝－，λμ＝－.解法2(基底法)因为＋＋＝0，λ＋μ＋＝0，两式相减得＋＋＝＋＋－＝0，所以λ－＝1，μ－＝－1，λμ＝×＝－.解法3(几何法)取AB中点E，则＋＝2＝－2，所以＝，即P为DE中点，延长CP交BA延长线于点F，易知：A，E为BF的三等分点，且P为CF中点．由＝＋＝－，得－＋＝0，所以λμ＝－.例9、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P

9、在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．【答案】、　解法1建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)．又kBC＝－，故BC：y＝－(x－4)．又＝m＋n，＝(4,0)，＝(0,4)，所以＝(4m,4n)，故P(4m,4n)，又点P在直线BC上，即3n＋4m＝4，即4（＋）＝(3n＋4m)·（＋）＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，所以（＋）min＝，当且仅当即m＝，n＝时取等号．解法2因为＝m＋n，所以＝m＋n(＋)＝m＋n－＝＋n.又C，P，B三点共线，故m－＋n＝1，即m＋＝1，以下同解法1.例10、在△

10、ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为________．【答案】、－1　【解析】、因为＝＋2，所以－＝(－)－2，解得＝＋，故·＝(－)·＝·＝2－·＝－×2×3×cos60°＝－1.例11、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，∠BAD＝45°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足＝2，则·＝________．【答案】、.16【解析】、　思路分析1：注意到AB，AD，∠BAD已知，因此，以，作为基底，从而只需将以基底的形式表示出来即可．思路分析2：由于图形的确定性，因此，将问题转化为向量的坐标来

11、进行运算．解析1(基底法)：因为＝2，所以－＝2(－)，即＝＋，又因为E，F为BC、CD的中点，所以＝＋，＝＋，故＝＋，因此，·＝2＋·＝×16＋×4××＝16.解析2(坐标法)：以A点为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则根据题设条件可得A(0，0)，B(4，0)，D(1，1)，C(5，1)，E(，)，F(3，1)，又因为＝2，所以设点P(x，y)，从而(x－3，y－1)＝2＝(9－2x，1－2y)，故，解得，故＝，从而·＝2×8＝16.例12、如图