2020年4月高三数学（理）大串讲第01讲集合、逻辑用语问题（解析版）.doc

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1、第01讲集合、逻辑用语问题【目标导航】1．理解函数的集合概念、四种命题、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词等问题；2．理解函数的集合概念、四种命题、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词等问题并能灵活运用．【例题导读】例1、已知集合A＝{x

2、1＜ax＜2}，B＝{x

3、－1＜x＜1}，求满足AB的实数a的取值范围．【解析】①当a＝0时，A＝，满足AB.②当a＞0时，A＝.∵B＝{x

4、－1＜x＜1}且AB，∴∴a≥2.③当a＜0时，A＝.∵B＝{x

5、－1

6、a＝0或a≥2

7、或a≤－2}．例2、已知集合A＝{x

8、x2－2x－3>0}，B＝{x

9、x2－4x＋a＝0，a∈R}．(1)若存在x∈B，使得A∩B≠，求a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求a的取值范围．【解析】(1)由题意得B≠，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4　①.令f(x)＝x2－4x＋a＝(x－2)2＋a－4，其对称轴为直线x＝2.∵A∩B≠，又A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴f(3)＜0，解得a＜3　②.由①②得a的取值范围是(－∞，3)．(2)∵A∩B＝B，∴BA.当Δ＝16－4a＜0，即a＞4时，B是空集，这时满足A∩B＝B；当Δ＝16－4a≥0时，

10、a≤4　③.令f(x)＝x2－4x＋a，其对称轴为直线x＝2.∵A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)≠，∴f(－1)＜0，解得a＜－5　④.由③④得a＜－5.综上，a的取值范围是(－∞，－5)∪(4，＋∞)．例3、设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式3x－9x0对任意x∈R恒成立，当a＝0时，x<0，不符合题意，舍去；当a≠0时，解得a>2.所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．

11、(2)令t＝3x，因为x∈R，所以t>0.令g(t)＝－t2＋t＝－2＋，所以g(t)max＝g＝.因为不等式3x－9x，即a>m＋.设A＝{a

12、p(a)}＝(2，＋∞)，B＝{a

13、q(a)}＝.　因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以m＋<2，所以m<，所以实数m的取值范围是.例4、设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解析】设A＝{x

14、p}＝{x

15、x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝

16、{x

17、3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x

18、q}＝{x

19、x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x

20、x2－x－6≤0}∪{x

21、x2＋2x－8＞0}＝{x

22、－2≤x≤3}∪{x

23、x＜－4或x＞2}＝{x

24、x＜－4或x≥－2}．∵非p是非q的必要不充分条件，而{x

25、非q}＝∁RB＝{x

26、－4≤x＜－2}，{x

27、非p}＝∁RA＝{x

28、x≤3a或x≥a，a＜0}，∴{x

29、－4≤x＜－2}{x

30、x≤3a或x≥a，a＜0}，则或即或综上，实数a的取值范围是.例5、命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函

31、数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【解析】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，所以Δ＝4a2－16<0，所以－21，所以a<1.由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．若p真q假，则所以1≤a<2；若p假q真，则所以a≤－2.综上可知，所求实数a的取值范围是{a

32、1≤a<2或a≤－2}．例6、已知命题p：x0∈[1，3]，x0－lnx0＜m；命题q：x∈R，x2＋

33、2＞m2.(1)若p∧q为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【解析】设y＝x－lnx，x∈[1，3]，则y′＝1－＝，当x∈[1，3]时，y′≥0，故函数y＝x－lnx在x∈[1，3]为增函数，ymin＝1，则m＞1.因为x∈R，x2＋2＞m2，故m2＜2，故若q为真，则－＜m＜.(1)若p∧q为真，则实数m满足故－＜m≤1，故实数m的取值范围是(－，1]．(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，若p真q假，则实数m满足即m≥；若p假q真，则实数m满足，即－＜m≤1.综上所述，实

34、数m的取值范围是(－，1]∪[，＋∞)．【反馈练习】1．已知集合A＝{x

35、x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x

36、