2020年高三数学大串讲第11讲（三角函数图象与性质问题）（解析版）.doc

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1、第11讲（三角函数图象与性质问题）【目标导航】三角函数图像的变化,讨论三角函数的对称性,三角函数的图像与性质,根据三角函数的图像确定解析式,【例题导读】例1、将函数y＝2sin3x的图像向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图像，则f的值为________．【答案】－　【解析】解法1由题意可知：y＝f(x)＝2sin＝2sin，所以f＝2sin＝－2sin＝－.解法2根据图像平移前后的关系，f的值应和y＝2sin3x中x＝＋时y值相等，所以f＝2sin3＝－.例2、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，

2、φ∈R)是偶函数，点(1，0)是函数y＝f(x)图像的对称中心，则ω的最小值为________．【答案】　【解析】令ωx＋φ＝＋k1π，k1∈Z，得x＝.因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈R)是偶函数，则x＝＝0得φ＝＋k1π.因为点(1，0)是函数y＝f(x)图像的对称中心，所以f(1)＝0，即sin(ω＋φ)＝0，故ω＋φ＝k2π，k2∈Z，则ω＝k2π－φ＝k2π－＝－＋(k2－k1)π.又因为ω>0，所以当k2－k1＝1时，ω取最小值为.解法2函数f(x)是偶函数，所以图像关于x＝0对

3、称．又(1，0)是函数f(x)的对称中心，所以＋T＝·＝1，得ω＝π，k∈Z.又ω>0，所以ωmin＝.例3、将函数f(x)＝sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，则以函数f(x)与g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．【答案】　【解析】平移后的函数g(x)＝sin.令f(x)＝g(x)，得sin2x＝sin.解法12x－＝π－2x＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，(－，－)，.故所求面积为S＝×π×＝π.解法2sin2x＝sin＝si

4、n2xcos－cos2x·sin＝sin2x－cos2x，即sin＝0，则有2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，，.则所求面积S＝×π×＝π.例4、函数y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________．【答案】　【解析】函数y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位长度后所得图像的函数是y＝cos＝cos(2x－π＋φ)＝sin，由题意可得－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，故φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为0<φ<π，所以当k＝

5、0时，φ＝.例5、已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则f(0)的值为________．【答案】1　【解析】由题意，f＝2sin＝±2，即sin＝±1，又因为－＜φ＜，－<＋φ<，所以＋φ＝，即φ＝，所以f(x)＝2sin，f(0)＝1.例6、函数的图像关于直线对称，则的最小值为．【答案】【解析】：根据余弦函数的图像及性质，令，得，令得，，又因为，所以当时取得最小值为解法2：由条件可得，即，则，，解得，，又因为，所以当时取得最小值为例7、若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，

6、0<φ<π)的图像经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则f的值为________．【答案】　【解析】由相邻两条对称轴间的距离为，知其最小正周期T＝2×＝π，从而得ω＝＝＝2，又f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像经过点，所以2sin＝2，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝2sin，即有f＝2sin＝.例8、设函数f(x)＝sin2x－cosxcos，则函数f(x)在区间上的单调增区间为________．【答案】　【解析】f(x)＝＋cosxsinx＝－cos2x＋sin2x＝

7、sin＋.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，故f(x)在上的单调增区间是.例9、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图像如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．【解析】(1)由图像知，A＝2，(2分)又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1.(4分)所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点，2代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝

8、.(6分)所以f(x)＝2sinx＋.(8分)(2)当x∈[－，]时，x＋∈[－，]，(10分)所以sinx＋∈[－，1]，即f(x)∈[－，2]．(14分)例10、已知函数（其中A，，为常数，且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若，求的值．【解析】（1）由图可知，A=2，T=，故，所以，f(x)=．………………………………又，且，故．于是，f(x)=．（2）由