第4讲三角函数的图象与性质教案

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1、第4讲　三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性．【复习指导】1．要熟记本节的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题．2．解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等．3．注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点．4．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，

2、－1)，，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数性质　　y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x

3、x≠kπ＋，k∈Z}图象对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)无对称轴对称中心：(kπ，0)(k∈Z)　对称中心：(k∈Z)对称中心：(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间，2kπ＋(k∈Z)；单调减区间，2kπ＋(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间，kπ＋(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y

4、＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，x∈R(　　)．A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．是偶函数

5、第5页答案　C2．函数y＝tan的定义域为(　　)．A.B.C.D.答案　A3．(2012·成都质检)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是(　　)．A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在和上都是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在∪上是增函数，在上是减函数解析　由y＝sinx的单调性可知B正确．答案　B4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．A．(－π，0)B.C.D.解析　∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝s

6、in的一个对称中心是.答案　B5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为________．解析　T＝＝π.答案　π　考向一　三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y＝lgsin2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．[审题视点](1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．解(1)依题意⇒.(2)设sinx＝t，则t∈.∴y＝1－sin2x＋sinx＝－2＋，t∈，故当t＝，即x＝时，ymax＝，当t＝－，即x＝－时，y

7、min＝.【方法总结】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练1】(1)求函数y＝的定义域．(2)已知函数f(x)＝cos

8、＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．解　(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为.(2)由题意得：f(x)＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)·(sinx＋cosx)＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin.第5页又x∈，∴2