2020年高三数学大串讲第20讲（数列中的新定义问题）（原卷版）.doc

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1、第20讲数列中的新定义问题【目标导航】解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质．第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质．【例题导读】例1、数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，．（Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：；（Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围．例2、若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列

2、是“数列”．（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．例3、已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．例4、已知数列满足记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求；（3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由．例5、记．对数列和的子集T，若，定义；若，定义．例如：时，．现设是公比为3的等

3、比数列，且当时，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：．例6、设数列A：，，…()．如果对小于()的每个正整数都有＜，则称是数列A的一个“G时刻”．记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得>，则；（3）证明：若数列A满足-≤1（n=2，3，…，N），则的元素个数不小于-．【反馈练习】1．定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．设数列中（1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；（3

4、）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由．2．设数列是公差不为零等差数列，满足；数列的前项和为，且满足．（1）求数列、的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入个数，使成等差数列，（i）求；（ii）是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．3．已知，数列的前n项和为，且；数列的前n项和为，且满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）设，问：数列中是否存在不同两项，（，i，），使仍是数列中的项?若存在，请求出i，j；若

5、不存在，请说明理由．4．已知是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，记．（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2）证明：“数列单调递增”是“”的充要条件；（3）若对任意恒成立，证明：数列的通项公式为．5.已知数列的首项，对任意的，都有，数列是公比不为的等比数列．（1）求实数的值；（2）设数列的前项和为，求所有正整数的值，使得恰好为数列中的项．