2020年高三数学大串讲第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）（解析版）.doc

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1、第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）【目标导航】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法．【例题导读】例1、设数列是公差不为零等差数列，满足；数列的前项和为，且满足．（1）求数列、的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入个数，使成等差数列，（i）求；（ii）是否存在正整数

2、，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（i）（ii）及．【解析】（1）设数列的公差为，则由条件，可得，，又由，可得，将代入上式得，，由①当时，②①-②得：，，又，是首项为，公比为的等比数列，故，．（2）①在和之间插入个数，因为成等差数列，设公差为，则，则，，①则②①-②得：，，②若，因为，所以，则，，从而，故，当时，，当时，，当时，，下证时，有，即证，设，则，在上单调递增，故时，，即，从而时，不是整数，故所求的所有整数对为及．例2、有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当，称集合具有性质．（1

3、）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求；（3）已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由．【解析】（1）集合中的三个元素不能组成等差数列，理由如下：因为集合具有性质，所以，由题中所给的定义可知：中的元素应是：这6个元素应该互不相等，假设中的三个元素能构成等差数列，不妨设成等差数列，这时有这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故中的三个元素不能能构成等差数列；（2），

4、得：，说明数列从第二项起，数列是等差数列，因为，，所以有，所以，显然也成立，因此．所以，显然根据定义在之间增加的元素个数为：，这样包括在内前面一共有个元素．当时，包括在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当时，能找到因此；（3）集合具有性质，理由如下：设等比数列的公比为，所以通项公式为：，为有理数．设假设当时，成立，则有，因为为有理数，所以设且互质，因此有，式子的左边是的倍数，右边是的倍数，而互质，显然不成立，因此集合中的元素个数为：，因此它符合已知所下的定义，因此集合是否具有性质．例3、已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若

5、，数列的前项和为，求的取值范围；（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．【解析】（1）当时，由，得，得，由，得，两式相减，得，即，即因为数列各项均为正数，所以，所以所以数列是以为首项，为公差的等差数列．因此，，即数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以所以所以，令，则，所以是单调递增数列，数列递增，所以，又，所以的取值范围为．（3），设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，．因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列

6、，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以．又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾．又因为，所以，即偶数只有两项，则奇数最多有项，即的最大值为．设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且．由，得，，此数列为，，，，．同理，若从大到小排列，此数列为，，，，．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，．例4、已知，数列的前n项和为，且；数列的前n项和为，且满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通

7、项公式；（3）设，问：数列中是否存在不同两项，（，i，），使仍是数列中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵数列的前n项和为，且满足，∴，，由，得．∴，且，即．∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴．（2）∵①时，②①②得，∴，，时，，∴，∴，∴为等差数列，∴．（3），假设中存在不同的两项，（），使（），注意到．∴单调递增，由，则，∴，令（），∴，∴，∵，∴，而，∴，．令，则，∴为单调递增，注意到时，，，∴m只能为1，2，3．①当时，，∴，故i只能为1，2，3，当时，，此时；当时，，此时无整数解，舍；当时，，此时，无正整数解，舍去．②