文科高三数学第8讲：函数的单调性、奇偶性、周期性（学生版）

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1、第了讲禽叙的单碉钳、奇偈徃、周期徃(不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加)刃作业完成情龙)(不用添加内容，也不做修改)知识梳理)1、单调性：定义:如果函数y=f(x)对于属于定义域/内某个区间上的任意阴个自变量的值心兀，当再<吃时，①都有/(西)f(x2),则称/(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个单调减区间.若函数/(刃在整个定义域/内只有唯一的一个单调区间，则/(对称为单调函数.2、判断函数单调性的方法：(1)定义法，其步

2、骤为：①；②；③.(2)导数法，若函数y=f(x)在定义域内的某个区间上可导，①若,则/(兀)在这个区间上是增函数；②若,则/(兀)在这个区间上是减函数.3、单调性的有关结论：1.若/(x),g(x)均为增(减)函数，则/(x)+g(兀)函数；2.若.f(x)为增(减)函数，贝

3、J-/(X)为;3.互为反函数的两个函数有的单调性；4.复合函数y=/[g(x)]是定义在M上的函数，若/(X)与g(x)的单调相同，贝U/[g(x)]为，若/(X)>g(x)的单调性相反，则/[g(x)]为•(同增异减)1.奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其

4、对称区间上的单调性4、值域：1.函数y=)中，与自变量无的值对应的函数值的集合.2.常见函数的值域求法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法(又分为一般换元法和三角换元法)例如：①形如y=—可采用法；②>，=竺土1(兀工一2),可采用_2+x~3x+23法或法；③y[/•(兀2)]+抄(x)+c,可采用法；®y=x-y/l-x2,可采用法.5、奇偶函数的定义奇函数：如果对于函数y=/(X)的定义域D内任意一个x,都有-XGD,H/(-%)=-/(X)»那么函数/(兀)就叫做奇函

5、数；偶函数：如果对于函数y=g(x)的定义域D内任意一个x,都有-xeD,都有g(_X)=g(X),那么函数g(x)就叫做偶函数.6、图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数;如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反Z，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.7、奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；(2)/(%)是偶函数o/(力的图彖关于y轴对称；/

6、(切是奇函数o/(兀)的图彖关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.8、判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断/(x)=-/(x)或/©•)=/(一兀)是否定义域上的恒等式;⑵图象法：利用函数图象的对称性;⑶性质法：①设f{x）,g（兀）的定义域分别是DJ）2,那么在它们的公共定义域Z）=D,nD2±：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇＞＜奇=偶，偶＞＜偶=偶，奇乂偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇

7、函数；cQ教学重•难，的1.函数单调性的判断及应用2.函数奇偶性的判断及应用3.函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用及数形结合（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）特色讲解）例一：讨论函数f（x）=x+-（a＞0）的单调性X卜2,.¥[x,X例二设/（%）=<1>1g（兀）是二次函数,若/（g（兀））的值域是[0,+oo）,则g（兀）的值域是（）A.(―00,-1]U[l,+oo)B.(-oo,-l]U[0,+oo)C.[0,+oo)D.[1,4-00)例三：判断下列函数的奇偶性：⑴/（%）=%+-.（2）y=x4+x2+2；（3）

8、y=F+x；⑷y=x3-].X例四：设/（X）是只上的奇函数，且当XG[0,+oo）R't,/（x）=x（l+fx）,那么当XG（-co,0）时，/（X）：•例五：已知定义在区间(0,+oo)上的函数.f(x)满足/(i)=/(x1)-/(x2),且当兀>1时,兀2/W

9、)v-2・例六：设函数y=f(x)(xgR且兀HO)对任意非零实数£,x2,恒有f(x}x2)=f(x})+f(x2),⑴求证：/(1)=/(-1)=0；⑵求证：y=f(x)是偶函数；⑶已知

10、尸/(兀)为(0,+oo)上的增函数，求适合/(x)+/(x-^)<0的兀的取值范围1—当堂练习)1、函数f(x)=log2(3v+1)的值域为A.(0,+x)R.[0，+8)C