高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性

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1、高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识点精析】1.函数的单调性：定义法、求导法注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数在（0，）同时在（），偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。（3）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的

2、规律。（4）对于可导函数，若在独立区间D上，，则是D上的增函数，，则为减函数。2.函数的奇偶性：定义注：（1）由定义可知，函数定义域在轴上反映出具有关于原点对称的特征，这是函数具有奇偶性的必要条件，也即不是这一特征，不说函数的奇偶性。当然，既然有奇函数，偶函数，也就有非奇非偶函数，那么是否有既是奇函数又是偶函数呢？有，如，是常函数，则只要D关于原点对称即是既奇又偶函数。（2）函数的奇偶性，从其图象上反映出来的特征其实是它的对称性，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于轴对称，且条件具有充要性。这一图象特征，又可延伸到《

3、解析几何》的研究方法上。（3）对于奇函数，若，则必有。（4）在初等函数中，一次函数只可能是奇函数，但要求，二次函数只可能是偶函数，但也要（对称轴是轴），指数、对数函数是不具有奇偶性的，三角函数具有奇偶性。（5）在公共定义域内，两个同奇偶的函数之和、差、积、商不改变其奇偶性，一奇一偶的积、商为奇函数，这一点类似符号法则（视奇为“－”偶为“+”）。（6）判断函数的奇偶性的方法（除定义法外还有以下）或（奇函数）或（偶函数）3.函数的周期性：对于函数，若存在一个常数T（）使得对于定义域中的任意值，都有成立，则称T是的周期。周期

4、性也是函数的一个整体性质，这点在三角函数中有充分的表现，在高数中常以抽象函数的形式出现，其图象特征便是规律性再现。注：（1）抽象函数的周期表现，对于函数，若是周期函数，且，若是周期函数，且第5页共5页（2）从函数图象上分析，定义在R的一个函数，如果图象有两条对称轴，与（），则它必有无数对称轴，且它是周期函数，，如果其图象有一个对称中心，一条对称轴，则它必有无数的对称中心与对称轴，且它是周期函数，。（3）若T是的周期，则（）亦为的周期，一般我们尽可能选择正数，较小的数作其周期（即最小正周期）。【相关习题】1．已知函数f(

5、x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于（）A．-3　　　　　　B．13　　　　C．7　　　　D．含有m的变量2．函数是（）A．非奇非偶函数B．既是奇函数又是偶函数C．偶函数D．奇函数3．已知函数(1),(2),(3)(4),其中是偶函数的有（）个A．1　　B．2　　C．3　　D．44．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为（　）5．函数在区间[0,1]上的最大值g(t)=　　　　　．6.已知f(x)在区间上是减函数,则7．已知f(x)

6、是定义域为R的偶函数,当x<0时,f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且,则和的大小关系是．8.已知,其中，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．9．已知函数，常数。（1）设，证明：函数在上单调递增；（2）设且的定义域和值域都是，求的最大值．10.在集合R上的映射:,.第5页共5页(1)试求映射的解析式;(2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间;(3)求函数f(x)的单调区间.【高考题】1.(广东卷文)函数的单调递增区间是A.B.(0,3)C.(1,4)D.21世纪教育网2.（全国卷Ⅰ）函数的定义域

7、为R，若与都是奇函数，则()(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数3.（浙江文）若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数21B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数4.(山东)定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则().A.B.C.D.5.（江西卷文）函数的定义域为A．　　　B．　　　C．　　　　D．6.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．　　　B．　　　C．　　　　D．7.（四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且

8、对任意实数都有，则的值是A.0B.C.1D.8.（湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数。当=时，则的增区间为【】A．B．C．D．9.（辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是（）（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）10.（陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有第5页共5