高考数学必修知识讲解正余弦定理在解三角形中的应用基础.doc

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1、正弦、余弦定理在三角形中的应用编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.【要点梳理】要点一、正弦定理和余弦定理的概念①正弦定理公式：（其中R表示三角形的外接圆半径）②余弦定理公式：第一形式：第二形式：要点二、三角形的面积公式①；②；要点三、利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免

2、分类讨论.在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：①若A为锐角时：一解一解两解无解②若A为直角或钝角时：要点四、三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；要点五、解三角形时的常用结论在中，，（1）在中（2）互补关系：，，；（3）互余关系：，，.【典型例题】类型一：利用正、余弦定理解三角形例1.在中，已知下列条件，解三角形.（1）,,；（2），，.【思路点拨】（1）题中利用正弦定理先求，再求和；（2）题中利用余弦定理求；求

3、可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理。【解析】（1）∵，法一：∵，∴，即，∴，，.法二：∵，∴或，①当时，，；②当时，（舍去）.（2）∵∴法一：∵∴，法二：∵又∵，即∴，有，∴，.【总结升华】①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；②解三角形时，要留意三角形内角和为180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用。举一反三：【变式1】△ABC中，已知c=1，b=，∠B=45°，求∠C和a.【答案】∵，(舍)或由正弦定理得：.【变式2】在中,求角；【答案】.【变式3】在中，若，，，求角和．【答案】根据余弦定理：，∵，∴，。例2、(2015浙

4、江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值。【答案】（1）2；（2）3.【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sinB的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.【解析】（1）由及正弦定理得，∴－cos2B=sin2C，又由，即，得－cos2B=sin2C=2sinCcosC，解得tanC=2；（2）由tanC=2，C∈（0，π）得，又，由正弦定理得，又，故b=3.【总结升华】对于求解三角

5、形的题目，一般都可有两种思路：边化角或角化成边，但要根据结论的形式选择转成边或者角。举一反三：【变式】△ABC中，A=45°，a=2，求b和B，C.【答案】解法一：正弦定理由若C=60°，则B=75°，若C=120°，则B=15°，解法二：余弦定理若若解法三：正余弦定理若∵b>c>a，所以B>C>A，所以B=75°，C=60°；若∵c>a>b，所以C>A>B，所以B=15°，C=120°.类型二：正、余弦定理的综合应用例3．已知△ABC中，试判断△ABC的形状.【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系；也可以用正弦定理、余弦定理化简成

6、单一的边的关系，然后判断.【解析】方法一：用余弦定理化角为边的关系由得，整理得，即，当时，为等腰三角形；当即时，则为直角三角形；综上：为等腰或直角三角形。方法二：用正弦定理化边为角的关系由正弦定理得：即，∵，∴即∵∴或，即或故为等腰三角形或直角三角形。【总结升华】（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断。

7、（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角。（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可。一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。（5），不要丢解。举一反三：【变式1】根据下列条件，试判断△ABC的形状.（1）bcosA=acosB；（2）a=2bcosC【答案】（1）解法一：正弦定理由bcosA=acosB得2RsinBcosA=2RsinAcosB，即sin(B-A)=0，于是B=A，∴△ABC为等腰三角形.解法二：余弦定理由bcosA=acosB得，即a2=b2，所以