导数综合应用 研究函数单调性及应用（通用）.doc

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1、导数综合应用—研究函数单调性及应用教学目标：1:知识目标：（1）理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；（2）理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有着广泛的应用。2:能力目标:（1）通过导数的单调性在上述具体问题中的应用，培养学生分析问题，解决问题的能力。（2）进一步加强学生的分类讨论能力，以及变换与转化的数学能力。教学重点：通过构造函数，利用导数解决不等式，方程的根，曲线交点个数问题。教学难点：将有关不等式，曲线交点个数问题转化为函数问题。教学过程一．知识回顾问题一常见函数的导函数………………………………………….问题二导数主要有哪几方面的应用………

2、………………………（1）利用导数研究函数的单调性；（2）利用导数求曲线的切线斜率和切线方程；（3）利用导数求函数的极值和最值。二．例题讲解例题1求函数的单调区间和极值，并画出其草图。设计意图：通过求简单的三次函数的单调区间和极值，复习巩固导数在研究函数单调性中的作用，并使学生尽快进入学习状态，同时为下面的教学作铺垫。问题1讨论曲线与直线y=a的交点个数。问题2讨论曲线与图像交点个数.设计意图引导学生构造函数，则问题转化为三次函数与轴的交点个数。可以通过函数的单调性与极值研究函数图象与x轴的交点个数。变式训练1：(2020全国高考)设为实数,函数=，当在什么范围内取值时曲线与

3、轴仅有一个交点.变式训练2已知为实数，求当方程有三个相异实数根时a的取值范围。设计意图：变式2与变式1本质是同一个问题，以不同的形式给出，使学生更深入的理解方程，函数图像，以及曲线交点三者之间的内在联系。学生练习(2020年福建卷)已知函数是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由。设计意图本例是对变式1结论的应用，通过构造函数，使原题转化为在区间内，的图象与轴的有三个交点（注意定义域为）则函数的极大值大于0，且极小值小于0建立不等式组，求出的取值范围。例题2求证当时，设计意图：引导学生通过构造函数,利用导数判断函数在

4、单调递增，则当时有,进而达到证明不等式的目的,这种构造思路为求证不等式找到了一条有效的途径。………………………….变式训练1：以知函数(1)求在区间上的最大值和最小值;(2)求证:在区间上函数的图象在函数的图象的下方.设计意图：上述训练题是一个含指数的超越不等式，本题第二问实际上是一个含对数的超越不等式，通过对例和本题的训练，让学生全面深刻的体会利用导数，通过构造函数是解决一些不等式的一种重要方法。变式训练2：（2020年全国卷）设函数，若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。设计意图：解决本题的思路和例2相同,通过构造函数,利用导数判断函数在区间的单调性进行求解,但本题中

5、包含参数,通过对参数不同取值的分类讨论。三．小结本堂课是导数综合应用的第一节课时，主要讨论了通过构造函数，利用导数对函数的单调性，极值等性质的讨论，解决有关不等式，曲线交点个数的问题。四．课后作业：……………………………………………………………………1:设函数,其中,求的单调区间.2:求证:当时,.3(2020全国高考)设为实数,函数=(1)求的极值；(2)当在什么范围内取值时,曲线与轴仅有一个交点.4:(1)已知函数=在(0,1)上是增函数,求的取值范围.(2)在(1)的结论下,设,.求函数的最小值.