薛定谔方程应用举例.ppt

《薛定谔方程应用举例.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、薛定谔方程应用举例王新庆波函数含义性质态叠加原理算符、本征值、本征函数薛定谔方程定态薛定谔方程自由粒子薛定谔方程一维无限深方势阱以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱。其定态薛定谔方程：在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零。根据波函数的标准化条件，在边界上所以，粒子被束缚

2、在阱内运动。在阱内的薛定谔方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：代入边界条件得：所以，n不能取零，否则无意义。因为结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论：由归一化条件粒子被局限在有限空间内运动的态称为束缚态一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：讨论：#零点能的存在称为基态能量。#能量是量子化的。是由标准化条件而来。能级间隔：当能级分布可视为连续的。#称为量子数；为本征态；为本征能量。o一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级n+1个节

3、点能量本征值对应的能量本征函数组成完备的集合。能量量子数n从1至在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整的存在于其中。实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。§3.2线性谐振子一维量子谐振子问题这里，含V′(0)的一次项由于平衡位置V′(0)=0而消失，在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在势（或势场）的

4、稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势场V(x)总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位置x0=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则也由于是稳定振动而有V′(0)＞0。除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如，

5、原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭加。一.方程的化简线性谐振子的势能函数是：其中ω是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：在方程中做如下的无量纲化变换：则方程变成：当ξ→±∞时，方程变为：我们发现它有近似解：但是应该舍去。所以再进行变换：可得关于H(ξ)的如下方程：二.Hermitian多项式可以用级数法求解H(ξ)的

6、方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→eξ²,仍然使ψ(ξ)发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让λ=2n+1n=0,1,2,3…这样，我们首先得到了能量本征值：现在H(ξ)的方程成为：而不难验证下面的函数正满足这个方程:它称为n次Hermitian多项式。头五个Hermitian多项式是:三.线性谐振子的能级和波函数1.我们把线性谐振子的能级和波函数总

7、结如下。能级是：对应的波函数是：Nn是归一化常数，利用特殊积分可得2.讨论(1)能级是等间隔的；(2)零点能是；(3)能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψn(x)(4)ψn(x)有n个节点。n势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中,若,粒子的动能为正,它只能在I区中运动。OIIIIII定态薛定谔方程的解又如何呢？令：三个区间的薛定谔方程化为：IIIIII若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III区，在III区只有透射波。粒子在　　　处的几

8、率要大于在　　　处出现的几率。其解为：根据边界条件：求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：IIIIII隧道效应当时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的