薛定谔方程及其简单应用教程文件.ppt

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1、薛定谔方程及其简单应用引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现象来验证的。2一、薛定谔方程要建立微观粒子的运动方程，应包含时间及空间变量。这个方程还应满足以下两个条件：（1）方程是线性的，即如果1和2都是这方程的解，那么1和2的线性迭加（a1+b2）也应是方程的解。这是由态迭加原理(干涉现象）决定的；（2）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。否则方程只能被粒子的部分状

2、态所满足，不能被各种可能的状态所满足。1926年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力学的一个基本方程来描述微观粒子的运动。当微观粒子所处的力场确定后，粒子所处的状态可以由薛定谔方程求解。3动量为P、质量为m、能量为E的自由粒子，沿x轴运动的波函数为：1.自由粒子的薛定谔方程对时间求微商，得到：首先看平面波的波动方程：将其用于自由粒子则：利用复数计算公式上式可以记为4对x求二阶偏导①②上式两边都乘以得：上式两边都乘以得：5当粒子速度远小于光速c时（v<

3、的自由粒子的薛定谔方程。将上式作用于波函数上，此时的薛定谔方程为：若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其势能函数为EP＝V(x,t)，则粒子的总能量应为：④⑤2.薛定谔方程的一般形式7写成式子：由此可知，粒子能量E和动量P与下列作用在波函数上的算符相当：引入哈密顿算符：则⑦式可写为：这就是薛定谔方程的一般形式。8（1）找出粒子总能E与动量P的关系式；（3）把经算符化后的关系式分别作用在上，即可得到所需的薛定谔方程。如果粒子的势能并不随时间而变化，即V=V(x,y,z)，它不包含时间。在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间

4、坐标函数和时间函数的乘积，即：3.建立薛定谔方程的一般方法4.定态薛定谔方程（2）把关系式中的E和P算符化：9代入得：很明显，上式右边只是矢径的函数，而左边只是时间t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于某一个常数，设以E表示，则有：两边除以，可得：10方程（1）的解为：（1）（2）（c为任一常数）将代入，并把常数包含在中，这样就得到薛定谔方程的特解为：定态波函数11定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定状态，并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度与时间无关：定态波函数所描述的状态称为定态。方程称为定态薛定谔方程。将与自由粒子的波函数表达式比较可知：12常数E其实就是微

5、观粒子的总能量，所以定态也就是微观粒子能量不随时间变化的量子态。讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数和在这些态中的能量E。由于定态波函数和函数以公式：联系起来，所以问题就归结于解定态薛定谔方程求出能量E的可能值和波函数薛定谔方程的解称为波函数，波函数本身并不表示微观粒子运动轨迹，也不表示粒子的波动状态（粒子运动没有振幅）。实际上波函数本身并没有物理意义。5.波函数的统计解释：136.应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤（1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；（2）用分离变量法求解波函数；对于波函数，有意义是波函数可以描述粒子的量子状态。波恩首先

6、提出的波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（波函数振幅的平方）与在该点找到粒子的几率成正比。表示自由粒子在空间出现的几率处处相等。14(3)由波函数归一化条件和连续性条件，确定积分常数；(4)求概率密度并讨论其物理意义。二、薛定谔方程的简单应用1.一维无限深势阱考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内（x=0到x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，即：粒子只能在宽为a的两个无限高势壁间运动，这种势称为一维无限深方势阱。151.薛定谔方程的建立由于势能与时间无关，所以本题是定态问题。在阱外，定态薛定谔方程为：根据波函数应满足连续性和有限性的条件，只有当=0时

7、，方程才有意义，所以有：式中：在阱内，定态薛定谔方程为：16该方程就是波动方程，其通解为：在阱内粒子势能为零，满足：令，则方程可化为：根据波函数的标准化条件，在边界上：17由此可得：所以，有：代入方程，得：若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违反粒子在势阱内运动的已知条件，n不能取零，否则无意义。即：18再由归一化条件确定常数A：于是：一维无限深方形势阱中运动的粒子的波函数：19（1）能级和能级差结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。由可得：和讨论：#零点能的存在称为基