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1、高中数学-导数及其应用课件复习（2）导数的四则运算法则①［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).②［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).③(3)复合函数求导复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx′=f′(u)g′(x).4.函数的性质与导数（1）在区间(a,b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间（a,b）上单调递增.在区间（a,b）内，如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间（a,b）上单调递减.（2）求极值的步骤①先求定义域再求f′(x)；②求f
2、′(x)=0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论.（3）求函数f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)=0的根（注意取舍）；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论（最大的就是最大值，最小的就是最小值）.一、导数几何意义的应用例1（2008·海南理，21）设函数（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线
3、y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.思维启迪(1)先求f′(x).再由f′(2)=0,f(2)=3.解得a,b.(2)利用图象的对称和平移变换求解.(3)先求过曲线上任一点（x0,y0）的切线方程，然后将面积用点（x0,y0）坐标表示，再用上点（x0,y0）在f(x)上即得证.（1）解因为a,b∈Z，故(2)证明已知函数y1=x,都是奇函数,所以函数也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(
4、3)证明在曲线上任取一点由知,过此点的切线方程为令x=1,得切线与直线x=1的交点为令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为所以,所围三角形的面积为定值2.探究提高求曲线切线方程的步骤是：（1）求出函数y=f(x)在点x=x0的导数，即曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处切线的斜率；（2）在已知切点坐标P（x0,f(x0)）和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).注意：①当曲线y=f(x)在点P（x
5、0,f(x0)）处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x=x0；②当不知道切点坐标时，应首先设出切点坐标，再求解.变式训练1（2009·启东模拟）已知函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0.（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间.解（1）由函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，解得a=2，b=3或a=-6，b=-1,∵b+1≠0，∴b=-1舍去.所以所求的函数解
6、析式是（2）令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-，x2=3+.当x＜3-，或x＞3+时，f′（x）＜0；当3-＜x＜3+时，f′（x）＞0.所以在（-∞，3-）内是减函数，在（3-，3+）内是增函数，在（3+，+∞）内是减函数.所以f(x)的单调递增区间是（3-，3+），单调递减区间是（-∞,3-）和（3+,+∞）.二、利用导数研究函数的单调性例2（2009·陕西文，20）已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m
7、的取值范围.解（1）f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).当a<0时，对任意的x∈R,有f′(x)>0,∴当a<0时，f(x)的单调增区间为（-∞,+∞）;当a>0时，由f′(x)>0解得x<-,或x>,由f′(x)<0,解得-0时,f(x)的单调增区间为(-∞,),(,+∞),f(x)的单调减区间为（-,）.(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.∴a=1.∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,由（1）中f(x)的单调性可知
8、,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的单调性可知m的取值范围是（
