导数及其应用复习课件.ppt

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1、导数导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线变速运动的速度最优化问题第一章导数及其应用复习本章知识结构1.函数的平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:(2.函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y导数分母是分子中两个自变量的差.可将分母的系数直接乘过去-123.导数的概念：1．导数的定义：对函数y=f

2、(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f/(x0)，或y

3、2．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f/(x0)就是曲线在(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为yy0=f/(x0)·(x－x0)．3．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度v就是路程s对于时间t的导数，即v(t)=s/(t).加速度a=v/(t

4、),加速度a=s//(t)例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)求在点A处的切线方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x变式：求过点A的切线方程？例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2),求在点A处的切线方程？解：设切点为P（x0，x03－x0+2），∴切线方程为y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)又∵切线过点A(1,2)∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化简得(x0－1)2(2x0+1)=0，①当x0=1时，所求

5、的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②当x0=－时，所求的切线方程为：y－2=－(x－1),即x+4y－9=0点评:①在A点的切线,A为切点②过A点的切线,A可能是切点也可能不是切点,求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线所求曲线的切线方程为y=2x与（4）对数函数的导数:（5）指数函数的导数:（3）三角函数：（1）常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）幂函数：(xn)/nxn14公式①.基本初等函数的导数公式乘以lna(3)(tanx)/=?常用的还有:ax

6、lnaaxa-13xln33x2②.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）函数的商的导数（）/=(v≠0)。（2）函数的积的导数(uv)/＝u/v+uv/.特例:(Cu)/=Cu/(C为常数)1)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内5.导数与单调性aby=f(x)xoyf'(x)>0y=f(x)xoyabf'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常函数.

7、返回极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.6.极值点与极值注意:1,极值点指x的值.极值指y的值.4.极大值不一定大于极小值.大小大小必要不充分xy0abx1x2x3x41．存在性定理：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)内的极值；②将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.7.函数的最大（小）值与导数xy0abx1x2x3x4最值与极值的区别与联

8、系1.最值是整个定义域内最大(小)值,而极值只是在极值点附近最大(小)的值.2.极值可以有多个,最值若有则只能有一个.3.极值只能在区间内取得,而最值可以在区间端点取得.4.有极值未必有最值,有最值也未必有极值.5.极值有可能是最值,但最值只要不在端点处必定是极值.8.复合函数的导数:复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:例如:求y=(2x+3)2的导数y=u2,u=2x+3y/x=y/u.u/x=2u.2=2(2x+3)=4x+6复合函数求导y=2x-1说明:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,

9、首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.3.注意在某一区间内f/(x)>(<)0只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不