高1数学第2讲：基本不等式（教师版）——黄庄汪高政.doc

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1、第2讲基本不等式(Inequation)一分钟破案1、一个公安局长在茶馆与一位老头下棋。正下到难分难解时，跑来一个小孩，小孩着急的对公安局长说：“你爸爸和我爸爸在外面吵起来了。”“这孩子是你什么人？”老头问。  公安局长答道：“是我的儿子。”请问：两个吵架的人与这位公安局长什么关系？ 2、篮子里有四个苹果，由四个小孩平均分完，到最后，篮子里还有一个苹果。请问：他们是怎办到的？3、夏天的中午，虽然天气很热，但广场上还是人来人往，十分热闹。突然，人群中传来女人的尖叫，原来有人抢走了她的挎包，并飞快的逃走了。附近的巡警闻讯赶来，可是广场上的人实在太多了，那个

2、窃匪早已消失在人群中。福尔摩斯正巧从广场经过，听到动静也赶了过来。他观察了一下周围的环境，指着正在花坛里浇花的花匠对警察说：“抓住他，他就是嫌疑犯。” 你知道福尔摩斯是怎么认出那个窃匪的吗？11一．基本不等式①≥（∈）②≥（∈）③≥（∈）④≥2（同号）二．平方平均数、算数平均数、几何平均数、加权平均数之间的关系≥≥≥（∈）拓展：≥≥≥（∈）三．绝对值不等式①≤≤柯西不等式（）（）≥拓展：（）（）≥1．取等号的条件2．在绝对值不等式中，去绝对值的条件111．已知，则函数的最小值是_______________。答案：2．若∈，且＞0，则下列不等式中恒成立

3、的是（）。A．＞B.≥C.＞D.≥2答案：D3．设＞0，＞0，且，求的最小值。答案：44．已知＞0，＞0，且，则的最大值为___________。答案：5．设＞0为常数，若对任意正实数，不等式≥9恒成立，求的最小值。答案：46．若，求的最大、最小值。答案：最大值1，最小值7．已知、，且，则的最小值是答案：9118．已知，，为正实数，，求证：≥求下列函数的值域（1）（2）解：（1）[，+∞）（2）（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时

4、，上式等号成立，故当时，。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求的最大值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：∵∴∴11当且仅当即时等号成立。技巧三：分离例3.求的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋

5、1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令，化简原式在分离求最值。当,即＞0时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，

6、故。所以，所求函数的值域为。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，的值.11（1）（2）(3)2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知，且，求的最小值。错解：，且，故。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是

7、即11,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。变式：（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值1．下列各式中，最小值等于的是A．B．C．D．2．若且满足，则的最小值是A．B．C．D．3．设,，则的大小关系是A．B．C．D．4．若，且恒成立，则的最小值是A．B．C．11D．5．函数的最小值为A．B．C．D．6．不等式的解集为A．B．C．D．二、填空题1．若，则的最小值是_____________.2．若，则,

8、,,按由小到大的顺序排列为_____________.3．已知，且，则的最大值等于______