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《【高1数学】05-基本不等式及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、基本不等式及其应用基础概念一、基础知识概述本周主要学习基本不等式及其应用，课本首先证明了一个重要的不等式22以2,通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与儿何平均数的定理.利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用.最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际闷题中的应用.二、重难点知识归纳1、重要不等式：（1）若a,beRf则tz2+/?222“/?（当且仅当“吋取等号）.（2）若a，为正实数，贝ij:（当且仅当时取等号）.1丄12V2一十一ab（3）若a，b，c为正实数，贝ij:a3+b3+c3>3abc,++C>Vcibc.（当且仅当==c时取等号）32、
2、重要不等式的两种变形形式：（1）若“6〉0,tz、beR,则&+三之2（当且仅当G=时取等号）；ab（2）若“〉0,cieR,则（/+丄之2（当且仅当“=1时取等号）.a3、利用重要不等式求最值：己知6Z,都是正数，若f/Z?是实值则当“=/?=#时，和u+Z?有最小值2#,己知“，/?都是正数，若6Z+/7是实值则当6/二=2时，积tz/7有最大值24运用重要不等式求值时，最注意三个条件：“一正、二定、三等”，即各项均为正数，和或积为定值，収最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.典型例题例1、己知6Z,/?，c力正实数，求证：—+—+—>€z+Z?+c.bca分析：通过配凑，利
3、用重要不等式.证明：.22b22,2—+H—)+(6Z+/7+C)>2(6/+/?+C),bca9,99a一/?一+——+——>a+b+c.bca41例2、已知;c,:v为正实数，.目.x+4>，=l,求证：一+—仝16.分析：注意“1”的代换.证明：1+丄=1.(1+丄)=(1+4力(1+丄)=8+^+三28+27^=16.xyyxyxy例3、已知/?,CER+9.目.6Z+/?+C=l,求证：（1）（丄一1）（丄一1）（丄一1）28;abc（2）a2+b2+c2>-；3（3）（1+丄）（1+丄）（1+丄）264.abc分析：在不等式证明中，儿个正数的和为1,常常作为条件出现在题
4、设，这时用好这个“1”常常成力解题的关键.证明：（1）•••a，b，cg/?+,且“+/?十c.=l.丄_1=£^±£_1=£±0bbbb1,a+b+c.a+b、2yfab—1=1=>>0=8•三式相乘得：(丄_1)(士_1)(丄一abcabc(2)•••€/，b，ce,且6Z+/?+c=l.•••1=(“+/?+c)2=a2+/?2+c2+2ab+2ac+2bc-.3(3)•••a，b，cg/?+,且fl+Z?+c=l.•门•xzi1xzi1xZ16Z+/?
5、+cz1a+b+c/Aa^b^c•••(1+-)0+7)(1+_)=(1+)(1+—:—)(1+)abcabc=(2+^£)(2+^£)(2+^)>(2+^£)(2+^£)(2+abcabcBP：(l+-)(l+-)(l+-)>64.abc小结：以上各小题在证题过程屮，或是将分子的1看作6Z+/7+C,然后拆项，或是将原代数式乘以一个位为1的因式0+/7+C)2以利用整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.例4、已知6Z,力正数，且f+t=l,求的最大值以及达到最大值时6Z，Z?的2值.分析：，b2分析条件与结论之间的关系是非常重要的解题步骤.本题条件6/2+^=1，结论
6、2a么+b2的最大依,所以必须把结论中6Z进入根号内，EP6^1+ft2=^^2(1+/?2)是用条件的第一步，而条件中的i+t=l的/?2系数为丄，还得继续变挽结论解析式的形式，即：22心2(l+b2)=^2a2.^^，再用均值不等式就完成了这一转化过程.解析:f“7沒2+l+Z?2•••ay/l+b2=如2(l+b2)=V2-X2--^^^<722__72J.2b1、ViZ13^2=T^+fr+T)=T(I+1)=41+/?22（«〉0，办〉0）时，即时取等号..'当且k夸时，。^的最大值为卒.点评:在求解过程中，不要急于运用均值不等式，使解答陷入僵局.b42ab,ab<422
7、而ay/l+b2=y/a2(l+b2)=々a2+a2b2，无法运用ab
