基本不等式及其 应用

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1、基本不等式及其应用1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，

2、则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.选择题：设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80B．77C．81D．82解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝8112若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)A.B.C．2D.解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤

3、2，∴xy的最大值为2若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析　2≤2x＋2y＝1，∴2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，∴x＋y≤－2若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为(　　)A．2－B．2＋C．4＋2D．4－2解析　＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号若函数＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋B．1＋C．3D．4解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等

4、号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m等于(　　)A．2B．2C．3D．4解析　由2x－3＝()y得x＋y＝3，＋＝(x＋y)(＋)＝(1＋m＋＋)≥(1＋m＋2)，(当且仅当12＝时取等号)，∴(1＋m＋2)＝3，解得m＝4已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)A．9B．8C．4D．2解析　圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，∴圆心为C(0,1)∵直线ax＋by＋c－1＝0经过圆

5、心C，∴a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1∴＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5∵b，c>0，∴＋≥2＝4，当且仅当＝时等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)A.B.C.D.解析　由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)∵＝4a1，∴qm＋n－2＝16，∴2m＋n－2＝24，∴m＋n＝6∴＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋

6、＋)≥(5＋2)＝当且仅当＝时，等号成立，故＋的最小值等于在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5a6的最大值是(　　)A．3B．6C．9D．36解析　∵a1＋a2＋…＋a10＝30，∴5(a1＋a10)＝30，即a1＋a10＝a5＋a6＝6，∵a5＋a6≥2，∴6≥212，即a5a6≤9，当且仅当a5＝a6时取等号，∴a5a6的最大值为9若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A.B．2C．2D．4解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．∵＋＝，∴≥，即ab≥2，∴ab的最小值为2

7、已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)A．3B．4C．5D．6解析　由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4若a，b都是正数，则·的最小值为(　　)A．7B．8C．9D．10解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)A．9B．12C．18D．24解析　由＋≥，得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6又＋＋6≥2＋6＝12，∴m≤12，∴m的最大值为1212已知a>0，b>0，a

8、＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)A．4B．2C．8D