2.4基本不等式及其应用

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1、基本不等式及其应用一、知识点：1、重要不等式：对于任意实数a、b，有a2＋b22ab，当且仅当时，等号成立．2、基本不等式：如果a＞b，b＞0，那么，当且仅当时，等号成立．3、对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且要掌握它的变形及公式的逆用等。例如：(a＞0，b＞0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．4、重要函数，求其值域主要依据基本不等式及函数的单调性，函数在上为增函数，在上为减函数．45、在利用均值不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．其中:“一正”是信息和前提；“二定”是解题的关键，通过对所给式进行巧妙分析、变形、组合、添加系数使之能够出现

2、定值；“三相等”是保证和易错点，并且多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性．二、典型例题考点一　利用基本不等式比较大小例1　若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤ 变式：设a、b∈R+，试比较的大小.考点二利用基本不等式求最值例2已知正数a、b满足a＋b＝1.(1)求的最大值；4(2)求的最小值．变式:1、已知x,y∈R+,且满足,则xy的最大值是.2、设a、b、c∈R+,则(a+b+c)的最小值为.3、已知a>0,b>0,则的最小值是4、已知x、

3、y、z为正实数，且满足x-2y+3z=0，则的最小值是.5、下列各函数中，最小值为2的函数是（）A.y=x+B.y=sinx+C.y=D.y=考点三利用基本不等式进行防缩例3若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.变式：若a＞0，b＞0，ab≥1+a+b，求a+b的最小值.考点四利用基本不等式巧解“轮换式”4例4已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最小值为.变式：已知a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=,则2a+b+c的最小值为.考点五基本不等式的实际应用例5如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼4间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(（1

4、）现有长36m的网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 4