广东省肇庆市2012-2013学年高二数学下学期期末试卷 理（含解析）新人教A版.doc

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广东省肇庆市2012-2013学年下学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（　　）　A．（1，）B．（1，﹣）C．（，1）D．（，﹣1）考点：点的极坐标和直角坐标的互化．.专题：计算题．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，可求出点的直角坐标．解答：解：x=ρcosθ=2×cos=1，y=ρsinθ=2×sin=∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．故选A．点评：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题．　2．（5分）一物体作直线运动，其运动方程为s（t）=﹣t2+2t，则t=1时其速度为（　　）　A．4B．﹣1C．1D．0考点：导数的几何意义．.专题：导数的概念及应用．分析：首先求导，然后将t=1代入即可．解答：解：∵s（t）=﹣t2+2t∴s'（t）=﹣2t+2∴s'（1）=0故t=1时其速度为0．故选：D．点评：本题考查了导数的几何意义，属于基础性的题目．　3．（5分）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（　　）　A．1B．﹣1C．1或﹣1D．﹣1或﹣2考点：复数的基本概念．.专题：计算题．分析：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，实部为0，虚部不为0，求解不等式组即可确定x的值．13 解答：解：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则解得：x=1故选A点评：本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．　4．（5分）曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是（　　）　A．（1，4）B．（1，﹣3）C．（，0）D．（，0）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．.专题：计算题．分析：欲求曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标，只须在方程中，令y=0，得t=，再将其代入x=1+t2中，得x即可．解答：解：在方程中，令y=0，得t=，将其代入x=1+t2中，得x=1+=，则曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是（，0）．故选C．点评：本题考查参数方程的应用，考查曲线的交点问题，属于基础题．　5．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）　A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度　C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．.专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．13 解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．　6．（5分）若随机变量X～N（1，σ2），且P（0＜X≤3）=0.7989，则P（﹣1＜X≤2）=（　　）　A．0.7989B．0.2011C．0.2021D．以上答案均不对考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．.分析：根据X～N（1，σ2），可得图象关于x=1对称，利用P（0＜X≤3）=0.7989，即可求得结论．解答：解：根据正态分布N（1，σ2）的密度函数的图象的对称性可得，∵X～N（1，σ2），∴图象关于x=1对称∴P（﹣1＜X≤2）=P（0＜X≤3）=0.7989．故选A．点评：本题主要考查正态分布的图象，利用正态曲线的对称性是解题的关键．　7．（5分）复数与在复平面上所对应的向量分别是，，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（　　）　A．B．C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角．.专题：计算题．分析：由条件求得||、||、的值，再由两个向量的夹角公式求得这两个向量的夹角∠AOB的值．解答：解：∵对应的复数为===﹣i，对应的复数为，13 ∴||=1，||=2，=0+（﹣1）（﹣）=，设这两个向量的夹角∠AOB=θ，则cosθ===，∴θ=，故选A．点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．　8．（5分）已知数列{an}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣an），通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的值为（　　）　A．B．C．D．考点：归纳推理．.专题：规律型．分析：先根据数列的f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣an），求得f（1），f（2），f（3），f（4），可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出f（n）的值．解答：解：a1=，f（1）=1﹣a1=；a2=，f（2）=×=；a3=，f（3）==．…由于f（1）=1﹣a1==；f（2）=×==；f（3）===．…猜想f（n）的值为：f（n）=．故选D．点评：本题主要考查了归纳推理，考查了数列的通项公式．数列的通项公式是高考中常考的题型，涉及数列的求和问题，数列与不等式的综合等问题．　二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.9．（5分）计算=　π　．13 考点：定积分．.专题：计算题．分析：结合导数公式，找出cosx+1的原函数，用微积分基本定理代入进行求解．解答：解：=（sinx+x）=sin0+0﹣[sin（﹣π）﹣π]=π，故答案为：π．点评：本题考查了导数公式及微积分基本定理，属于基本知识、基本运算的考查．　10．（5分）i是虚数单位，则=　3﹣i　．考点：复数代数形式的乘除运算．.专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的式子，可得结果．解答：解：复数==3﹣i，故答案为3﹣i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．　11．（5分）若直线l经过点M（1，5），且倾斜角为，则直线l的参数方程为　（t为参数）　．考点：直线的参数方程．.专题：直线与圆．分析：根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，直接写出直线的参数方程．解答：解：由于过点（a，b）倾斜角为α的直线的参数方程为（t是参数），∵直线l经过点M（1，5），且倾斜角为，13 故直线的参数方程是即（t为参数）．故答案为：（t为参数）．点评：本题主要考查直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，属于基础题．　12．（5分）已知（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=　﹣2　．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．.专题：计算题；概率与统计．分析：在所给的式子中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，由此求得a1+a2+a3+a4+a5的值．解答：解：在（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，故a1+a2+a3+a4+a5=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．　13．（5分）圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是　（其它正确答案同样给分）　．考点：简单曲线的极坐标方程．.专题：计算题．分析：由题意圆心在，半径为1的圆，利用直角坐标方程，先求得其直角坐标方程，间接求出所求圆的方程．解答：解：由题意可知，圆心在的直角坐标为（，），半径为1．得其直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，即x2+y2=x+y所以所求圆的极坐标方程是：ρ2=⇒．故答案为：．点评：本题是基础题，考查极坐标方程的求法，考查数形结合，计算能力．　14．（5分）（2011•陕西）观察下列等式13 1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为　5+6+7+8+9+10+11+12+13=81　．考点：归纳推理．.专题：规律型．分析：根据题意，观察等式的左边，分析可得规律：第n个等式的左边是从n开始的（2n﹣1）个数的和，进而可得答案．解答：解：根据题意，观察可得，第一个等式的左边、右边都是1，第二个等式的左边是从2开始的3个数的和，第三个等式的左边是从3开始的5个数的和，…其规律为：第n个等式的左边是从n开始的（2n﹣1）个数的和，第五个等式的左边应该是从5开始的9个数的和，即5+6+7+8+9+10+11+12+13，计算可得，其结果为81；故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．点评：本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可．　三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤.15．（12分）某地有两所中学，为了检验两校初中毕业生的语文水平，从甲、乙两校九年级学生中各随机抽取20%的学生（即占各自九年级学生总数的20%）进行语文测验．甲校32人，有21人及格；乙校24人，有15人及格．（1）试根据以上数据完成下列2×2列联表；及格不及格合计甲乙合计（2）判断两所中学初中毕业生的语文水平有无显著差别？附：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.05k00.4550.7081.3232.0722.7063.841．考点：独立性检验．.专题：应用题．分析：（1）由题意知按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为21人，乙班及格人数为15，从而做出甲班不及格的人数和乙班不及格的人数，列出表格，填入数据．（2）根据所给的数据，代入求观测值的公式，做出观测值，把所得的数值同观测值表中的数据进行比较，得到两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别．13 解答：解：（1）及格不及格合计甲211132乙15924合计362056（6分）（2）．（10分）因为k≈0.058＜0.455，所以两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别．（12分）点评：本题考查独立性检验的作用，考查列联表的做法，是一个基础题，这种题目运算量比较小，但是需要注意计算观测值时，数据运算比较麻烦，需要认真完成．　16．（12分）某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为10时销售收入y的值．附：线性回归方程中系数计算公式，，其中，表示样本均值．考点：回归分析的初步应用．.专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据所给的数据计算出x，y的平均数和回归直线的斜率，即可写出回归直线方程，（2）由（1）中的回归直线方程，把所给的自变量x代入方程，得到y的一个估计值，得到结果．解答：解：（1），（1分），（2分），（3分），（4分）13 ，（6分），（8分）所以回归直线方程为．（9分）（2）x=10时，预报y的值为y=6.5×10+17.5=82.5．（12分）点评：本题考查回归分析的初步应用，写方程要用的斜率和x，y的平均数都要经过计算算出，这样的题有一定的运算量，是一个基础题．　17．（14分）六一儿童节期间，某商场对儿童节礼品采取促销措施．某儿童节礼品的进货价是10元/件，据市场调查，当销售量为x（万件）时，销售价格（元/件）．若x∈N*，问销售量x为何值时，商场获得的利润最大？并求出利润的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．.专题：导数的综合应用．分析：先确定利润函数，在求导确定函数的单调性，从而可求最值．解答：解：设商场的利润为y万元，由题意得（x∈N*）（5分）（7分）令y'=0，得，（舍去）．（8分）y'，y随x变化的情况如下表：x（0，）（，+∞）y'+0﹣y递增极大值递减（11分）因为，当x=3时，y=9；当x=4时，y=9；（12分）所以当x=3或x=4时，ymax=9．（13分）答：销售量x为3万件或4万件时，商场获得的利润最大，最大值为9万元．（14分）点评：本题考查函数解析式的确定，考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．　13 18．（14分）某学校高一年级组建了A、B、C、D四个不同的“研究性学习”小组，要求高一年级学生必须参加，且只能参加一个小组的活动．假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的．（1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数；（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率；（3）设随机变量X为甲、乙、丙三名同学参加A小组活动的人数，求X的分布列与数学期望EX．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．.专题：概率与统计．分析：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，利用乘法原理可得结论；（2）求出对立事件的概率，可得结论；（3）确定X的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望EX．解答：解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有43=64种．（4分）（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为．（8分）（3）由题意X的可能取值为：0，1，2，3所以，，，，（12分）所以X的分布列如下：X0123P故数学期望．（14分）点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．　19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n﹣an（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式，并加以证明．考点：归纳推理．.专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据Sn=2n﹣an，利用递推公式，分别令n=1，2，3，4，求出a1，a2，a3，a4，13 （2）由（1）猜想（n∈N*）．利用an=Sn﹣Sn﹣1，整理出an的递推式，进而构造等比数列{an﹣2}中求出an．解答：解：（1）因为Sn=2n﹣an，Sn=a1+a2+…+an，n∈N*（1分）所以，当n=1时，有a1=2﹣a1，解得；（2分）当n=2时，有a1+a2=2×2﹣a2，解得；（3分）当n=3时，有a1+a2+a3=2×3﹣a3，解得；（4分）当n=4时，有a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，解得．（5分）（2）猜想（n∈N*）（9分）由Sn=2n﹣an（n∈N*），得Sn﹣1=2（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2），（10分）两式相减，得an=2﹣an+an﹣1，即（n≥2）．（11分）两边减2，得，（12分）所以{an﹣2}是以﹣1为首项，为公比的等比数列，故，（13分）即（n∈N*）．（14分）点评：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查归纳推理及等比数列的通项公式．属于中档题．　20．（14分）（2010•焦作二模）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．.专题：综合题；压轴题；存在型．分析：（1）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点代入已知函数，比较函数值的大小，从而解出单调区间；（2）构造函数h（x）=g（x）+，对其求导，求出h（x）的最小值大于0，就可以了．13 （3）存在性问题，先假设存在，看是否能解出a值．解答：解：（1）∵当a=1时，，∴，（1分）∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，（3分）∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；f（x）的极小值为f（1）=1．（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值为1，（5分）令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，（7分）∴，∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+，（8分）（3）假设存在实数a，使，（x∈（0，e]）有最小值﹣1，∴，（9分）①当a≤0时，∵0＜x≤e，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值．（10分）②当0＜a＜e时，若0＜x＜a，则f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上单调递减，若a＜x＜e，则f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上单调递增.，，得，满足条件．（12分）3当a≥e4时，∵0＜x＜e，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上单调递减，（舍去），所以，此时无解．（13分）综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）（3）法二：假设存在实数a，使，x∈（0，e]）的最小值是﹣1，故原问题等价于：不等式，对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．即不等式a≥﹣x（1+lnx），对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．13 设g（x）=﹣x（1+lnx），即a=g（x）max，x∈（0，e]（10分）又（11分）令当，g'（x）＞0，则g（x）在单调递增；当，g'（x）＜0，则g（x）在单调递减，（13分）故当时，g（x）取得最大值，其值是故．综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）点评：此题是一道综合题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．　13