中垂线和角平分线.doc

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1、线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC

2、＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三

3、角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1　如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）　　A．6cm　　　B．8cmC．10cm　　D．1

4、2cm课堂笔记：例2、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。课堂笔记：B针对性练习：1.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.证明：课堂笔记：课堂练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直

5、平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC

6、于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.线段的垂直平分线与角平分线(2)知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一

7、点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记：5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区

8、别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线