中点和角平分线的运用

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1、中点和角平分线的运用一、角平分线的方法：1、对顶角的平分线成一条直线，邻补角的平分线的位置关系是;两条直线平行，同位角的平分线的位置关系是,内错角的平分线的位置关系是,同旁内角的平分线的位置关系是。2、三角形中的内、外角的平分线3、角平分线垂两边4、角平分线造全等5、角平分线+平行线等腰三角形要出现6、角平分线+垂线，等腰三角形要出现二、中点的方法：1、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。2、直角三角形+斜边的中点，“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现。3、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要应用。4、线段的中点+平行线，“八字型的全等”要出现。5、有中点时，常会出现面

2、积的一半（中线平分三角形的面积）；6、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”练习：如图，已知在四边形ABCD中，BD>AB,AD=DC,BD平分ZABC,求证：ZA+ZC=180°o如图，已知AD平分ZBAC,ZB二2ZC.求证：AB+BD=AC.图5如图，已知平行四边形ABCD中，AB=CD,ZBCD的平分线CE交边4D于E,ZABC的平分线BG交CE于F,交AD于G.求证：AE=DG.(2013•广州)如图，四边形肋d是梯形，AD〃BC,以是ZBCD的平分线，H.ATA3丄AC,AB=4,AD=6.则竺二()ABC、5x/5D、4图5已知：如图，在RtAABC中，AB=AC.ZB

3、AC=90°,BD平分ZABC,CE丄的延长线于E求证：BD=2CE・如图，E是正方形ABCD边AB的中点，DF丄CE于点M.说明：AM二AD.(2012•r州•25题)如图10,在平行四边形ABCD中，AB=5,BC二10,F为AD中点，CE丄AB于点E,设ZABC=tz(60°

4、是AB、BC、CD、DA边上的中点.阅读下列材料，回答问题：⑴连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是；⑵对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是矩形。⑶对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是菱形。・⑷对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是正方形。1如图，ZXABC中，D为BC中点，AB=5,AD=6,AC=13。求证：AB丄AD（2004・十堰）如图，已知ZkABC中，AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F,若DE=EF,求证：BD二CF.课后练习2AE（2010雅安）如图，己知点0是ZXABC中BC边上

5、的中点，且——=—,则——=AD3AC如图，已知在AABC中，AD平分ABAC,BD丄AD,DE//AC,求证：BE-AE.(陕西中考)如图,在RtAABC'l',ZACB=90°,AC二5,CB二12,AD是ZABC的角平分线,过A、C、D三点的鬪0与斜边AB交于点E,连接DE.(1)求证：AC=AE；(2)求AD的长.如图，已知在△ABC中,ZBAC=60°,BD、CE分别平分ZABC、ZACB,BD、CE相交于点0,(1)求ZB0C的度数(2)求证：0E=0D(3)判断BE、BC和CD的数量关系,并说明理由。(2008•十堰)如图,AB、BC、CD分别与00切于E、F、G,

6、且AB〃CD.连接OB、0C,延长C0交00于点M,过点M作MN〃OB交CD于N.(1)求证：MN是00的切线；(2)当0B=6cm,0C=8cm时，求00的半径及MN的长.7、在OABCD的对角线相交于点O.E、F、P分别OB、OC、AD的中点，RAC=2AB求证：EP=EF图(1)E图⑵8、(2009绥化)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的屮点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则ZBME=ZCNE(不必证明)(1)如图(2),在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交CD

7、、BA于点M、N,判断AOMN的形状，请直接写出结论.(2)如图(3)中，在AABC中，AC>AB,D点在AC±,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若ZEFC=60°,连接GD,判断AAGD形状并证明.•■A