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《高一数学第7讲：函数单调性教师版——刘勉.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7讲函数的单调性1.设函数y=f(x)的定义域为A，区间DA，如果取区间M中的两个任意值，，当改变量x=x2-x1＞0时，有y=f(x2)-f(x1)＞0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数；当改变量x=x2-x1＞0时，有y=f(x2)-f(x1)＜0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是减函数。2.如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。3.对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包
2、括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点。例1证明函数f（x）=x+在（0，1）上是减函数。解析设任意的x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，∴f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=(x1-x2)(1-)，∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又x1，x2∈(0,1)，∴＞1，∴1-＜0，∴f(x1)-f(x2)＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数。例2讨论函数f（x）=在x∈﹙-1，1﹚上的单调性，其中a为非零常数。解析设任意的x1，x2∈(-1,1)且x1＜x2，∴f(x1)-f(x2)=，∵x1
3、-x2＜0，1-x1x2＞0，x12-1＜0，x22-1＜0，∴当a＜0时，f(x1)-f(x2)＞0，f(x)为增函数；当a＞0时，f(x1)-f(x2)＜0，f(x)为减函数。例3做出函数f（x）=+的图象，并指出函数f（x）的单调区间。解析f(x)=
4、x-3
5、+
6、x+3
7、递减区间：（-∞，-3）；递增区间（3，+∞）。例4已知f（x）=8+2x-，g（x）=f（2-），试求g（x）的单调区间。解析∵f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，令2-x2＜1得x＞1或x＜-1，且x＞1时u=2-x2
8、单调递减，∴(1,+∞)为g(x)的单调递减区间，同理(-∞,-1)，(0,1)为g(x)的单调递增区间，(-1,0)，(1,+∞)为g(x)的单调递减区间。例5判断函数y=在（-2，+∞）上的单调性。解析，∵函数u=(x+2)2在（-2，+∞）单调递增，∴v=在（-2，+∞）单调递增，∴函数y=在（-2，+∞）上单调递增。例6求函数y=2x-1-的最大值。解析函数y=2x-1-的定义域为，∵函数u=2x-1在上单调递增，函数v=在上单调递减，∴函数y=u-v在上单调递增，∴当x=时，y取最大值，ymax=。A1.设（
9、a，b），（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且∈（a，b），∈（c，d），﹤，则f（）与f（）的大小关系是（D）A.f（）﹤f（）B.f（）﹥f（）C.f（）=f（）D.不能确定2.设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：1）若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递增；2）若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递增；3）若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递减；4）若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递减
10、。其中正确的命题是（C）A.1）3）B.1）4）C.2）3）D.2）4）3.函数y=3x+2的单调增区间是（D）A.（-∞，-]B.[-，]C.[，+∞）D.（-∞，+∞）4.关于函数y=的单调性的表达正确的是（D）A.在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减B.（-∞，0）∪（0，+∞）上递减C.在[0，+∞）上递减D.在（-∞，0）和（0，+∞）上都递减5.函数f（x）在定义域M内为增函数，且f（x）﹥0，则下列函数在M内不是增函数的是（C）A.y=4+3f（x）B.y=[f（x）C.y=3+D.y=2-6.定义
11、在R上的函数y=f（x）关于y轴对称，且在[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（D）A.f（3）﹤f（-4）﹤f（-π）B.f（-π）﹤f（-4）﹤f（3）C.f（-4）﹤f（-π）﹤f（3）D.f（3）﹤f（-π）﹤f（-4）B1.函数y=
12、x-1
13、的单调递增区间是(1,+∞)，递减区间是(-∞,1)2.若函数f（x）=a
14、x-b
15、+2在[0，+∞）上为增函数，则实数a，b的取值范围是a＞0，b＜03.证明函数f（x）=-在定义域上是减函数。证明：设任意的x1，x2∈(0,+∞)且x1＜x2，∴f(x1)-f(
16、x2)=＞0，∴函数f（x）=-在定义域上是减函数。4.指出函数y=-+2
17、x
18、+3的单调区间。答案：增区间：(-∞,-1)，(0,1)；减区间(-1,0)，(1,+∞)5.已知函数f（x）的定义域为R，满足f（-x）=﹥0，且g（x）=f（x）+c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数，判断并证明g（x）在区间[-b，-a]上的
