高一数学第7讲：函数单调性（教师版）

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1、第7讲禽歎的单调性©大脑体操)作业完成情宛知识梳理)1.设函数y=f(x)的定义域为A,区间DcA,如果取区I'可M屮的两个任意值西，x2,当改变量Ax=x2-xi>0时，有Ay=f(x2)-f(xi)>0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数;当改变量Ax=x2-xi>0时,WAy=f(x2)-f(X])<0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是减函数。2.如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。3.对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点

2、，也可以不包括端点，但刘-于某些点无意义时，单调区间就不包插这些点。教学重•难6特色讲解）例1证明函数f（x）二x+丄在（0,1）上是减函数。X解析设任意的Xi,x2^(0,1)且X1

3、1,A1-——<0,・・・f(xj-f(X2)>O,・・・f(x)二x+—在(0,1)上是减函数。XjX2X例2讨论函数f（X）=-^在xW（-1,1）上的单调性，其中纽为非零常数。X2-1解析设任意的X]

4、,X2・・・fg）-f（小心严）（iQ,（彳-1＞（€-1）Vxi-X2<0,l-xiX・2>0,Xi2-l<0,X22-l<0,・••当a<0时，f(xi)-f(x2)>0,f(x)为增函数;当a>0时,f(xj-f(x2)<0,f(x)为减函数。例3做出函数f(x)=Vx2-6x+9+Vx2+6x+9的图象，并指出函数f(x)的单调区间。解析f(x)=

5、x-3

6、+

7、x+3

8、递减区间：（-8,-3）；递增区I'可（3,+8）。例4已矢口f（x）=8+2x-x2,g（x）=f（2-x2）,试求g（x）的单调区间。解析Vf(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,

9、+8)上单调递减，令2-x2<1得x>l或x<-l,且x>l时u=2-x2单调递减，・・・(1,+8)为g(x)的单调递减区间,同理(0,1)为g(x)的单调递增区间，(-1,0),(1,+8)为g(x)的单调递减区间。(x+2)2-4例5判断函数y二：在(-2,+<«)上的单调性。x~+4x+44解析y=l，T函数u=(x+2)2在(-2,+°°)单调递增，(兀+2)24(x+2)2-42在(-2,+->)单调递增，二函数y二：在(-2,+«)上单调递增。(x+2)2x2+4x+4例6求函数y二2xT-J13・4x的最大值。1313解析函数y=2x-l-V1

10、3-4x的定义域为(,T函数u=2x-l在(一®丄]上单44[313调递增，函数v=a/13-4x在(一8,—]上单调递减，・・・函数y二u-v在(-OO,—]上单调递增,441311•:当x二一时,y取最大值,y»x=一。42当堂练习)A1.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间，且X]e(a,b),X2e(c,d),X,

11、)与f(x?)的大小关系是(D)A.f(X!)f(X2)C.f(Xj)=f(x2)D.不能确定2.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：1)若f(x)单调递增，g(x)

12、单调递增，则f(x)-g(x)单调递增；2)若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增；3)若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减；4)若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减。其屮正确的命题是(C)A.1)3)B.1)4)C.2)3)D.2)4)3.函数y二3x+2的单调增区间是(D)222A.(-8,B.-]33324•关于函数尸一的单调性的表达正确的是(D)xC.+8)3D.(一8,+8)A.在(-8,0)上递增，在(0,+8)上递减B.(一°°,0)U(0,+8)上递减C.在

13、[0,+8)上递减D.在(-8,0)和(0,+8)上都递减5.函数f(x)在定义域M内为增函数，且f(x)>0,则下列函数在M内不是增函数的是(C)A.y二4+3f(x)B.y=[f(x)]2C.y=3+—J—D.y二2-—J—f(x)f(x)6.定义在R上的函数y二f(x)关于y轴对称，且在[0,+8)上是增函数，则下列关系成立的是(D)A.f(3)

14、x-l

15、的单调递增区间是(l,+8),递减区间是(-8,1

16、)2.若函数f(x)=a

17、x-b

18、+2