高一数学第8讲：函数的奇偶性教师版——刘勉.docx

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1、第8讲函数的奇偶性1.设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。如果函数f(x)为奇函数或偶函数，那么，就说函数f(x)具有奇偶性。2.函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。3.如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如

2、果一个函数的图象是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。例1判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=；（2）f（x）=。解析（1）∵，∴，∴f(x)是奇函数；（2），∴f(x)是偶函数。例2函数f（x），x∈R，若对于任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），求证：f（x）为奇函数。解析令a=0，b=0，∴f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，∴f(0)=0，令a=x，b=-x，∴f(0)=f(x)+f(-x)

3、，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数。例3函数f（x），x∈R，若对于任意实数，，都有f（+）+f（-）=2f（）f（），求证：f（x）为偶函数。解析令x1=x2=x，∴f(2x)+f(0)=2f(x)f(x)……①，令x1=-x2=x，∴f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)……②，由①②得f(x)=0或f(x)=f(-x)，∴f(x)为偶函数。例4已知y=f（x）是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f（x）=0的所有实根之和是（D）A.4B.2C.1D.0解析设f(x1)=0，∵f(x)是偶函数，∴必有f(-x1)=0，∴这两根和为0，同理方程f(x)=

4、0的所有实根之和是0。例5已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）﹤0，试问F（x）=在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论。解析∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴f(x)在(-∞,0)上单调递增，∴F(x)=在（-∞，0）上是减函数。例6判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=+；（2）f（x）=

5、x+b

6、-

7、x-b

8、解析（1）∵f(x)的定义域为{x

9、x=2}，定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数；（2）∵f(-x)=

10、-x+b

11、-

12、-x-b

13、=

14、x-b

15、-

16、x+b

17、=-(

18、x+b

19、-

20、x-b

21、)=-f(x)，∴f

22、(x)是奇函数。A1.奇函数y=f（x）（x∈R）的图象必过点（C）A.（a，f（-a））B.（-a，f（a））C.（-a，-f（a））D.（a，f（））2.下面四个结论，其中正确命题的个数是（A）（1）偶函数的图象一定与y轴相交；（2）奇函数的图象一定通过原点；（3）偶函数的图象关于y轴对称；（4）既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3D.43.已知f（x）是定义在R上的奇函数，x≥0时，f（x）=-2x，则在R上f（x）的表达式是（B）A.y=x（x-2）B.y=x（

23、x

24、-2）C.y=

25、x

26、（x-2）D.y=

27、x

28、（

29、x

30、-2）4.若定

31、义在R上的函数f（x）满足：对任意、∈R有f（+）=f（）+f（）+1，则下列说法一定正确的是（C）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数5.若函数y=（x+1）（x-a）为偶函数，则a=（C）A.-2B.-1C.1D.26.设f（x）是连续的偶函数，且当x﹥0时，f（x）是单调函数，则满足f（x）=f（）的所有x之和为（C）A.-3B.3C.-8D.8B1.设函数f（x）=为奇函数，则a=-12.在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（B）A.在区间[-2

32、，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数3.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）﹤f（）的x取值范围是（A）A.（，）B.[，）C.（，）D.[，）4.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为（B）A.-1B.0C.16D.25.函数f（x）的定义