线性代数试卷2007年线性代数试题.docx

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1、2007年线性代数试题一、单项选择题1.设A为n阶方阵，B为n阶数量矩阵，则下列各式不成立的是（）A.AB≠BAB.AB=BAC.ABk=AkBkk为正整数D.(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)2.设A为2阶方阵，且

2、A

3、=2，则−2A3的行列式的值是（）A.-512B.512C.-64D.64a1a2a3a3a2a13.A=b1b2b3B=3b33b23b1c1c2c3c3c2c1001100P=010Q=030100001其中ai≠0，bi≠0，(i=1,2,3)，则B=（）A.APB.QAC.PAQD.QAP4.下列向量组中，线性无

4、关的向量组是（）A.α1=1,2,3，α2=4,5,6，α3=0,0,0B.α1=1,2，α2=3,4，α3=5,6C.α1=1,2,1,0,0，α2=3,4,0,1,0，α3=5,6,0,0,1D.α1=a,b,c，α2=a+b,b+c,c+a，α3=2a,2b,2c其中a、b、c为任意实数。5.设λ1，λ2为n阶方阵A的两个互异特征值(n>2)，与之相对应的特征向量为X1，X2，则下列结论正确的是（）A.2X1+3X2不是A的特征向量B.2X1+3X2是A的特征向量C.2X1，3X2线性相关D.A与对角阵相似6.设A为n阶降秩矩阵，且

5、A

6、中

7、有一元素aij的代数余子式Aij≠0，则齐次线性方程组AX=0的基础解系所含解向量的个数是（）A.i个B.j个C.n个D.1个7.设A为m×n阶实矩阵，且R(A)

8、A2+3A−5E=0，则A+E−1=。−1401273.PAP=，P=，则A−3E=。02131014．设A为3阶方阵，且R(A)=2，B=012，则R(AB)=。1035．设α1=1,0,−2,1，α2=−1,2,0,1，α3=2,0,−1,4，α4=1,−2,3,1则此向量组α1、α2、α3、α4线性。6．当，，=22+2+2−2䁜+21231231213正定时，t应满足的条件是。7．设A是3阶实对称矩阵，其特征值为1，1，3，与1对应的两个特征向量为α=1,2,3T，1α=1,5,6T，则与3对应的特征向量α=。238

9、．α=1,1,0，α=1,0,1，α=0,1,1为R3的一组基底，β=2,0,0在该基底123下的坐标为。三、已知AX=B+X，其中21−110A=−14−1B=021−1213求矩阵X。四、设方程组1+2+3−4=231+42+3−4=951+72+3−134=ܾ+14101+132+43−−24=291．问a、b取何值，方程组有唯一解、无解、无穷多解。2．当方程组有无穷多解是，求其通解（用解向量形式表示）。五、设，，=72+72+62−2123123121．写出此二次型对应的矩阵A。2

10、．求矩阵A的特征值及特征向量。3．用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换矩阵。六、证明题1．设A为n阶非零矩阵，为n维非零列向量，S为一正整数(S>3)，若−1≠0，而=0，试证：，，2，，−1线性无关。2．设A为n阶可逆实矩阵，试证：A’A为正定矩阵。参考答案一、选择题：ABDCBDCB二、填空题：1101．a1a2a3a41≤j≤4ai−aj2.A+2E3.30−14.25.相关6.-1

11、时，有唯一解；−1−3432−1当a=1，b=2时，有无穷多解。X=0+k11+k20，k1，k2∈R0017−10五、1.A=−1700062.特征值为6，8；λ=6的特征向量为1,1,0T，0,0,1T；λ=的特征向量1,−1,0T3.，，=，，=62+62+212312312311022Q=110−22010六、1.证明：设存在不全为零的k1，k2，，kS，使得kα+kAα++k−1=0，12S用−1左乘上式两边，得k−1α+kα++k−1=012S因为α=0，化简得k−

12、1α=0；−1α≠0；即k=0，11依次用−2，−3，，左乘，依次得k，k，，k23S都为零，所以假设不成立，，