线性代数试卷线性代数学习指导 五 .doc

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1、相似矩阵与二次型一．基本内容　　（１）矩阵的特征值与特征向量及其求法　　（２）相似矩阵及其性质　　（３）矩阵对角化的充要条件及其方法　　（４）实对称矩阵的相似对角矩阵　　（５）二次型及其矩阵表示　　（６）线性无关的向量组正交规范化的方法　　（７）正交变换与正交矩阵的概念及性质　　（８）用正交变换化二次型为标准形　　（９）用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形　　（10）惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别　二．基本要求与重、难点基本要求：熟练掌握矩阵特征值与特征向量的计算方法及矩阵与对角矩阵相似的条件；会求矩阵与对角矩阵相似的

2、相似变换矩阵；会用正交变换化二次型为标准形。重点：特征值与特征向量。难点：矩阵与对角矩阵相似。三．典型例题解析例1已知矩阵.（1）求的特征值和特征向量；（2）求的特征值和特征向量.分析（1）根据特征方程求特征值，有求特征向量；（2）设,则是的特征值，对应于的特征向量是的相应于的特征向量.解（1）于是，特征值对于解方程得基础解系为.从而属于特征值的特征向量为不为零.对于，解方程，得基础解系从而属于特征值的特征向量为，不为零.(2)设，则是的特征值.当时，.当时，.于是得的特征值是相应的特征向量仍为.例2已知矩阵，求正交矩阵，使得.分析是一

3、个对称矩阵，一定存在正交矩阵，使对角化.由知，的特征值为，分别求其特征向量，即可得正交矩阵.解因为，所以的特征值为。对，解方程组，得到一个特征向量，同理，对于分别得到特征向量，。将分别单位化后的向量记为，则。例3已知与相似，求及使．分析利用相似矩阵的性质及特征值的性质求及的特征值，再求每个特征值所对应的特征向量，即可得.解设为的特征值，由于相似，所以，.利用及可得，解得.所以，.对于，解方程组得基础解系为，；对于，解方程组得基础解系.于是记，即有.注意熟记公式例4求一个正交变换，使得二次型化为标准形分析这里需求一个正交变换化二次型为标准

4、型，因此应先求二次型对应的矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量所成的矩阵化为正交矩阵即可.解二次型的矩阵为，因而的全体特征值为.当时，解方程组得基础解系正交单位化得当时，解方程组得基础解系单位化得若令则在正交变换下，有.例5已知为阶方阵，若正定，证明也正定分析证明的特征值大于零即可.证因为正定，所以，而，所以，即对称。设为的任意一个特征值，则是的一个特征值，由于正定，所以，从而，因此正定.