线性代数试卷线性代数学习指导 六 .doc

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1、线性空间与线性变换一．基本内容（1）线性空间的定义与性质；维数、基与坐标；线性子空间。（2）线性变换的定义与性质及线性变换的矩阵。二．基本要求与重、难点基本要求：理解线性空间与线性变换的定义；掌握线性空间与线性变换的判别准则；会求线性空间的基与维数及线性变换的矩阵。重点：线性空间的基与维数及线性变换的矩阵。难点：线性空间与线性变换的定义。典型例题解析例1设表示全体正实数，定义运算与为，，其中，．则在此运算下构成实数域上的线性空间．分析具体验证此运算满足线性空间的8条性质证明i）；ii）；iii）；iv）；v）；vi）；vii）；viii）。所以，全体正实数在此运算下构成实数域上的线

2、性空间．例2.求线性空间的一个基、维数以及向量在该基下的坐标．解容易看出，在线性空间中，它的一个基为，故其维数．任何次数不大于的多项式可以表示为，所以在基下的坐标为．如果在中另取一个基，则由在点的Taylor多项式，可知在基下的坐标为．从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个向量在不同基下的坐标一般是不相同的．例3　设阶方阵，定义维线性空间中的变换为试证为中的线性变换，并求的核．分析验证此变换满足线性变换的定义．证明　因为对于任意的，，有所以是线性变换．由线性变换的定义知，的核空间就是齐次线性方程组的解空间．例4　在中，表示将向量投影到面的线性变换，即（1）取基为,求线性变

3、换在基下的矩阵；（2）取基为求线性变换在基下的矩阵．分析将基的像用基线性表示，再写成矩阵形式.解　（1）因为即所以在基下的矩阵（2）因为即所以在基下的矩阵例5　设在维线性空间中取定两个基由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，那么．分析通过线性变换的矩阵具体导出证明　根据假设，有,其中可逆；由于是因为线性无关，所以.这定理表明与相似，且两个基之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵．