线性代数试卷线性代数学习指导 四 .doc

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1、线性方程组一．基本内容　　（１）齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件　　（２）线性方程组的基础解系、通解及解的结构　　（３）非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法　　（４）用初等行变换求线性方程组的通解二．基本要求与重、难点基本要求：熟练掌握线性方程组的求解方法。重点：线性方程组的叠加原理与解的结构。难点：齐次线性方程组的基础解系。三．典型例题解析例1解线性方程组分析这是其次线性方程组，未知量个数与方程个数不同，利用初等行变换化系数矩阵为行最简形，即可得通解.解即得，为自由未知量.故方程组的通解为，为任意实数.例2解线性方程组

2、.分析这是非齐次线性方程组，有解的充要条件是因方程个数小于未知量个数，若有解，一定有无穷多解，先求出对应的齐次方程组的基础解系，再求出原来的非齐次方程组的一个特解，即可得通解.解故方程组有无穷多个解.该非齐次方程组对应的齐次方程组就是例1中方程组，其基础解系为下面再来求非齐次方程组的一个特解，由上面最后一个矩阵的同解方程组取代入上式得于是得方程组的一个特解为于是所求方程组的通解为.其中，为任意实数.注意也可将直接化为行最简形，即可直接写出通解.例3问为何值时方程组无解，有唯一解或无穷多解？当有无穷多个解时，写出方程组的通解.分析这是带有参数的方程组，根据方程组有解

3、的充要条件是判断当参数取何值时有解.在有解的情况下，用初等变换求解.解由此可知，当时，方程组无解.当时，方程组有无穷多解.当且时，方程组有唯一解.当时于是有原方程组通解为.其中为任意实数.注意该方程组是一个未知量个数与方程个数相同的方程组，还可以利用克莱姆法则，即方程组有唯一解的充要条件是系数行列式不为零计算.例4三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，已知是它的三个解向量，且.求该非齐次线性方程组的通解.分析非齐次线性方程组的通解由对应的齐次线性方程组的基础解系与非齐次线性方程组的一个特解相加组成.又因而基础解系中含有两个解向量，根据题中条件及解的性质求出由两个

4、解组成的基础解系，再求出非齐次方程组的一个特解即可.解因为均是非齐次方程组的解，所以均是对应的齐次方程组的解.又显然线性无关.所以为齐次方程组的一个基础解系.又因为，由此可得所以原方程组的通解为，其中为任意实数.例5设是阶方阵，试证存在一个非零矩阵,使得的充要条件是.分析由即知的列向量是的解向量.又由于因而涉及有非零解的情形.证充分性若,则方程组有非零解.设为的个解向量（其中至少取一个非零解），即.令，则必有且必要性若有非零矩阵使得,记的列向量为由有即是方程组的解.又因为所以不全为零.即有非零解，所以注意对矩阵与方程组不同知识点的衔接、转化应当清楚.