线性代数学习指导（四）

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1、线性方程组%1.基本内容(1)齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件(2)线性方程组的基础解系、通解及解的结构(3)非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法(4)用初等行变换求线性方程组的通解%1.基本要求与重、难点基本要求：熟练掌握线性方程组的求解方法。重点：线性方程组的叠加原理与解的结构。难点：齐次线性方程组的基础解系。%1.典型例题解析X]+兀2+2心+兀4=()例1解线性方程组<心+2兀2+兀3-兀4=0・2兀]+兀2+5工3+4兀4=0分析这是其次线性方程组，未知量个数与方程个数不同，利用初等00

2、0即得兀3,兀4为自由未知量•行变换化系数矩阵为行最简形，即可得通解.<1121]<1121、121-101-1-22154丿-112丿<1121)(10330-20-1-2000丿°o丿故方程组的通解为/兀1厂-3、[-3)X.12Z=k.+工311L0严丿<0;<他,仇为任意实数.兀1+兀2+2兀3+兀4=3例2解线性方程组

3、求出原來的非齐次方程组的一个特解，即可得通解.解‘11213、3=121-12.21547,11213、~00-1-2-13T121,11213、〜01-1-2-1卫0000丿R(A)=R(B)=2,故方程组有无穷多个解.该非齐次方程组对应的齐次方程组就是例1中方程组，其基础解系为12=1=0卫丿下面再来求非齐次方程组的一个特解，由上面最后一个矩阵的同解方程组xi+x2=一兀3-4兀4+3工2=工3+2x4一1取心“4=0代入上式得心=4宀二-1・于是得方程组的一个特解为于是所求方程组的通解为(-3]厂-3、〔4)1+*22+-11L00<

4、0,J丿•其中，处出为任意实数.注意也可将〃宜接化为行最简形，即可直接写出通解.例3问2为何值时方程组2X(+加2一兀3=1・加］_兀2+工3=24兀［+5x2-5兀3=-1无解，有唯一解或无穷多解？当有无穷多个解时，写出方程组的通解.分析这是带有参数的方程组，根据方程组有解的充要条件是R(A)=R(B)判断当参数取何值时有解.在有解的情况下，用初等变换求解.解<2A-11]<2A-11><22-11)B=-1122+2几―1032+2A-103<45-5一1丿i-65—5几0_6丿®+40°9丿由此可知，当；1=-仝时，R⑷=2,R(B)

5、=3,方程组无解.5当;1=1时，R(A)=R(B)=2<3,方程组有无穷多解.当；1工-纟且;iHl时，R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解.5当2=1时<21-11、<01-1B=300310019009<0000丿//X]=1于是有・x2=X3-1兀3=乞巾、原方程组通解为x=k1+-1•其中比为任意实数.注意该方程组是一个未知量个数与方程个数相同的方程组，还可以利用克莱姆法则，即方程组右唯一•解的充要条件是系数行列式不为零计算.例4三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1,已知勺屋屋〔°、是它的三个解向量，且乞+§2=20，§2+§

6、3=1<1>点+汗0—求该非齐次线性方程组的通解.分析非齐次线性方程组的通解由对应的齐次线性方程组的基础解系与非齐次线性方程组的一个特解相加组成.又—23-1=2,因而基础解系中含有两个解向量,根据题中条件及解的性质求出由两个解组成的基础解系，再求出非齐次方程组的一个特解即可.解因为L冬屋均是非齐次方程组的解，所以勺-g-負均是对应的齐次方程组的解.9323显然$-負,§2-負线性无关.‘0、所以32为齐次方程组的一个基础解系.J丿<1>又因为爲+尙=067=3,所以原方程组的通解为其中禺,他为任意实数.例5设A是屛介方阵，试证存在一个非零

7、矩阵〃，使得AB=0的充要条件是IA1=0.分析由AB=0,即知B的列向量是血=0的解向量•乂由于〃工0因而涉及Ax=0有非零解的情形.证充分性若141=0,则方程组仏=0有非零解.设b4・・・bm为血=0的加个解向量（其中至少取一个非零解）,即Ab,=0・令B=（b4・・・b」,贝9必有仙=0,且Bh0・必要性若有非零矩阵B使得AB=0,记B的列向量为®,〃2,…上加*由4B=0有人仇=0（,=1,2,…,加），即®•是方程组Ax=0的解.又因为〃H（）,所以仇不全为零.即4工=0有非零解，所以IA1=0.注意对矩阵AB=0与方程组Ax=

8、0不同知识点的衔接、转化应当清楚.