线性代数学习指导讲稿

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1、第一篇内容提要与典型例题分析第一章行列式1.1教学目的要求1．会求n元排列的逆序数；2.熟练掌握计算2阶和3阶行列式的对角线法则；3．深入领会行列式的定义；4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式；5．灵活掌握行列式按（列）展开；6．理解代数余字式的定义及性质；7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解.1.2重要公式与结论1.2.1n阶行列式的定义n阶行列式.其中是n个数12…n的一个排列，t是此排列的逆序数，∑表示对所有n元排列求和，故共有n！项.1.2.2行列

2、式的性质1.行列式和它的转置行列式相等.2.行列式的两行（列）互换，行列式改变符号.3.行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）.4.行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零.5.若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即+6.把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.1.2.3行列式按行（列）展开。设D为n阶行列式，则有其中是的代数余子式.1.2.４克拉默法则１.如果

3、线性非齐次方程组的系数行列式，则方程组有唯一解（i=1，2，…，n），其中是D中第i列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式.2.如果线性齐次方程组的系数行列式，则方程组只有唯一零解.若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式.1.2.5一些常用的行列式1.上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积..2.设，，则.3.范德蒙行列式.1.2.6.计算行列式的常用方法：1.利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式；2.利用n阶行列式定义计算行列式；3.利用行列式的性质化三角形法计算行列式；4.利用行

4、列式按某一行（列）展开定理计算行列式；5.利用数学归纳法计算行列式；6.利用递推公式计算行列式；7.利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；8.利用加边法计算行列式；9.综合运用上述方法计算行列式.1.3典型例题分析例1.1下列排列中（）是偶排列.(A)54312(B)51432(C)45312(D)654321解按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C）.例1.2下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是

5、（）.(A)(B)(C)(D)解由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D）.例1.3行列式,若，则的取值为（）.(A)2,—1(B)1,—1(C)0,2(D)0,1解按三阶行列式的对角线法则得.若，则，于是，故正确答案为（B）.例1.4方程组有唯一解，则（）.(A)且(B)且(C)且(D)且.解由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式即且，故正确答案为（B）.例1.5（）.分析

6、：对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算.解此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解.，故答案为4.例1.6（）.分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法).解这个行列式的特点是各列4个数的和为10，于是，各行加到第一行，得10.例1.7

7、设，则的系数为（），的系数为（）.分析：此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算。如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算.解从的表达式和行列式的定义可知，当且仅当的主对角线的4个元素的积才能得出，其系数显然是2.当第一行取或，则含或的行列式的项中是不出现，含的行列式的项中是不出现，于是含的项只能是含，，，的积，故的系数为.故答案为2，.例1.8设，则（1）（）.（2）（）,（3）（）.分析：此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，充分利用按行（列）展开的计算方

8、法来进行技巧计算.解（第2，3行相同）即=0.同理=0于是0，0.故答案为0，0，0.例1.9.分析:当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.解此行列式刚好只有n个非零元素，故非零项只有一项：，其中，因此.此题也可以按行(列)展开来计算.例1.10计算n阶行列式解法1（行（列）加法）因为这个行列式的每一行的n个