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《线性代数学习指导(五)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、相似矩阵与二次型%1.基本内容矩阵的特征值与特征向量及其求法(2)相似矩阵及其性质(3)矩阵对角化的充要条件及其方法(4)实对称矩阵的相似对角矩阵(5)二次型及其矩阵表示(6)线性无关的向量组正交规范化的方法(7)正交变换与正交矩阵的概念及性质(8)用正交变换化二次型为标准形(9)用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形(10)惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别%1.基本要求与重、难点基本要求：熟练掌握矩阵特征值与特征向量的计算方法及矩阵与对角矩阵相似的条件；会求矩阵与对角矩阵相似的相似变换矩阵；会用正交变换化二次型为标准形。重点：特征值与特征向量
2、。难点：矩阵与对角矩阵相似。%1.典型例题解析‘122、例1已知矩阵人=212〔221)(1)求A的特征值和特征向量;(2)求A2+3A+E的特征值和特征向量.分析(1)根据特征方程求特征值，有(A-2£)x=0求特征向量;(2)设卩⑷="+3a+e,则卩仇)是卩⑷的特征值,对应于2的特征向量是0(A)的相应于0仇)的特征向量.解(1)1-222A-AE=21-22221-2=(5-2)(2+1)2=0,于是，特征值兄1=5説2=无3=-1・对丁"=5,解方程(A-5E)x=0,得基础解系为$=1・11丿从而属于特征值；I】=5,的特征向量为Tkx1,k
3、、不为零.对于22=23=-1,解方程(A+E)x=0,得基础解系<0、§2=01一1丿，§3=11-1丿从而属于特征值22=23=-1的特征向量为ri>厂0、0+氐31九山3不为零・(2)设卩⑷="+3a+e,贝IJ卩(2)"2+32+1是卩⑷的特征值.半=5,时，。(人)=41・于是得A2+3A+E的特征值是-41-1-1,相应的特征向量仍为<12例2已知矩阵A=21<33<-100>ptap=000•<009丿3、3,求正交矩阵P,使得6丿分析A是一个对称矩阵，一定存在正交矩阵P,使A对角化.J100、由PtAP=000矢口，A的特征值为^=-1^=0
4、,713=9,分别求其特〔009,征向量，即可得止交矩阵P・(-{00、所以A的特征值为解因为ptap=000〔009丿人=—1,人=0,希=9。对人=_1,解方程组(4-/)“0,得到一个特征向量5=(-1,13,同理，对于&=0,入=9分别得到特征向量冬=(-i,-i,i)7',昌mb。将匚徐爲分别单位化后的向量记为1-1已知A=241-3-3（2与8=0Pl，P2，P3,则P=(P1，P2，P3)。0()、20相似，求"及°巧P^P^AP=B.分析利用相似矩阵的性质及特征值的性质求及人的特征值，再求每个特征值所对应的特征向量，即可得P・解设人，人仏为A
5、的特征值，由于A相似所以人二人=2,入=b・利用人+乙+右=%1+。22+。33及也右可得it]"「+：，解得[4b=6a—6a-5,h=6•所以人二人二？，希=6・对于=22=2?解方程组(A-2E)x=0得基础解系为px=(1-1,0/,p2=(1,0,l)r；对于A=6,解方程组(A-6E)x=0得基础解系p3=(l,-2,3)r.于是记P=(P，P2，P)、即有P「'AP=B・注意.,、八」、+^2+・・・+2“=aw+幺22+熟记公式IA1=2］久2…&例4求一个正交变换，使得二次型/(兀1，兀2,X3)=兀1+X；+兀；+4兀1兀2+4兀1兀3
6、+4工2工3化为标准形分析这里需求一个正交变换化二次型为标准型，因此应先求二次型对应的矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量所成的矩阵化为正交矩阵即可.解二次型的矩阵为122、A=212a2bA-AE=(A+l)2(5-A),因ifrja的全体特征值为人=仓=-1,人=5・当;I]=人=-1时，解方程组(A+E)x=o,得基础解系<1>"0〕0<-1>，§2=1正交单位化得石01当23=5时，解方程组(A-5E)x=0,得基础解系§3=1(1丿01单位化得若令则在正交变换X=PY下，有f=-yl-y^5y；.例5已知A为屛介方阵，若A-E正定，证明A也正
7、定分析证明A的特征值大于零即可.证因为4-E正定,所以(力一£)7’二A—E，Ifn"(A-E)7=Ar-E，所以A7'=A，即A对称。设&为A的任意一个特征值，则2-1是A-E的一个特征值，由于A-E正定，所以2-1>0,从而几〉0,因此A正定.
