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1、线性代数学习指导《线性代数》课程的核心内容1・课程主线上的6大矩阵A（矩阵）=>U（数乘矩阵）=>以（转置）=>屮（川）（方幕）=>A*（伴随）=>川（逆）2.两个矩阵A与B间的3大关系（1）等价性G）；（2）相似性；（3）合同性（注意：向量组的等价概念）小结：（1）相似一定等价，合同也一定等价；（2）相似不一定合同，合同也不一定相似3.矩阵人本身的3个常用特性（1）对称性；（2）正交性；（3）正定性第一章行列式一、余了式与代数余了式1.元素勺的余子式：•（木质是个实数或者代数式）定义：划去元素知•所在的第i和笫丿•列的所有元素后，剩卞的元素位置不变所构成的新行列式2.元素勺的
2、代数余了式：每（木质是个实数或者代数式）关系：每=（-旅两者要么相等，要么相反）二、关于行列式的计算方法一：对角线法（沙路法）使用对彖：只能适用二、三阶行列式，四阶及以上行列式不能用方法二：行列展开法使用对象：任意阶行列式£吶（按照第，行展开）公式：D=<7-1£吶（按照第丿•列展开）、曰（注：实际计算中经过适当的化简后，选择0元素最多的行或者列展开。）方法三：按照行列式的性质化简后，（尽力）化为上三角行列式；三、行列式的性质性质1:行列式与其转置行列式行列（互换后的行列式）相等（D=Dr=D）性质2：任意交换行列式的两行（列），行列式的值变号推论：行列式屮若有两行（列）元素对
3、应相同，则行列式的值为0性质3：若行列式屮某一行（列）有共同因子R，町以将该因子R提取到行列式符号前而■•■a2■■■灿2••••••■■■••••••=kaw■■■aia2•■■ai2••♦•••■■■♦♦••••a：”•■■■■•••■■■■■■■■•■5%^nnanan2^nn（对比：若a是农阶方阵,则
4、u
5、=r
6、A
7、）性质4：行列式屮若有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为0性质5：（拆分性质）行列式可以按行（列）拆开aw••a2■•••••••1”•■%••az■■••••••1”•■a2••••••D=•b“+ci•••bi2+%••■h+c%=
8、cin••—■bi•■■bi2•■■bin•■+••Ci2••Cin■•■%•an2•Qmi•a”i■an2■az•an•ai2••・•••性质6：（放大平移不变性质）把行列式D的某一行（列）的所冇元素都乘以同一个数R以后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式D的值不变an■■a2■•••••••
9、n■■■•al2+kai2■■••••••+kdj”■■D=■••■ai2•■■••••••■•=■ai■■■ai2■•■ain■•■an•an2■^nn■5■an2■^nn（第门亍的鸟倍加到第1行，行列式的值不变）三、特殊行列式的值1•上三角行列式a\a2°13…a
10、n0a”6?23…^nnD=o0如••••…■■=即如如…％••000■…2.下三角行列式2.对角行列式«ii00...00。220...0D=0■■0••°330■■二%禺22°33…％•0•00...•ann四.几个行列式的关系（常考考点）如为料阶方阵，则(2)A7'=
11、內⑸A=矿(3)Ak=A((6)
12、ab
13、=
14、a
15、
16、b⑺“+创工同+网五、克拉默法则含有〃个方程的n元线性方程组的-•般形式为°11兀1+ai2X2+・・・。5兀=®如內+如无2+…严％⑴，它的系数构成的阶行列式（实质：Q“內+色2兀2+…％益=hna\an…aD=a^如2…勺”称为方程组(1)的
17、系数行列式••••••anan2ann定理（克拉默Cramer法则）如果〃个方程的〃元线性方程组（1）的系数行列式D=ai}工0,则方程组必有唯一解：Xj=Zj='2・・m,JflJD51••…aJ-••b■■°1J+1•■■…ci{n■■其中E•二••■•…djJ-1••■bi■■■Gj+l•■■■•-%J=1,2,...〃■anl•…a”jT■bn■①J+l•■…ann（其实就是川方程组右边的常数列來代替系数行列式中的第丿列元素）六、齐次线性方程组及英解方程组(1)中的常数b.=b2=...bn=0,这时对应的方程组为a11x1+a12x2+...alnxM=0
18、2112222?，m(2),称为齐次线性方程组(实质：A」=0)色內+~2吃+…仏兀=0结论：若此时系数行列式D=a..^0,则方程组⑵只有零解：Xl=x2=,,.xn=0(此时R(A)=R(A)=n,故有唯一解(即零解));若D=eg=0时，则它有无穷多个解，必有非零解)Jn第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念(数表)定义：由mxn个数知(i=j=1,2,...兀)排成的一个加行刃列的数表a\ai2…a勺2…%,称为一个加行/列矩阵.••••••_^ml°加2…_⑴兔称为矩阵的第m行
