线性代数试卷线性代数学习指导 二 .doc

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1、n维向量一．基本内容　　（１）维向量的概念　　（２）向量组的线性相关、线性无关定义及其有关定理，线性相关性的判别　　（３）向量组的最大无关组、向量组的秩　　（4）维向量空间及子空间、基底、维数、向量的坐标二．基本要求与重、难点基本要求：熟练掌握n维向量的线性运算；理解向量组线性相关、线性无关及向量组秩的定义；会判断的向量组的线性相关性；了解向量空间的定义及其判断法则。重点：向量组的最大线性无关组与秩。难点：向量组线性相关与线性无关的概念。三．典型例题解析例1判断下列向量组的线性相关性，并说明理由.1．,,；解.因为线性相关，所以线性相关.2．,,,；解.四个三维向量一定线性相关.3

2、．,,；解.因为，所以线性无关.4．，,.解.因为，,线性无关所以，,线性无关.注意线性相关性的概念与判定，既是重点也是难点。在学习时要注意理解概念，学会举一些简单的反例，以加深认识，也要熟悉一些常用的思路与方法。例2已知向量组线性无关，而向量证明也线性无关.分析用线性无关的定义证明.证　设有使即亦即因为线性无关，故由于此方程组的系数行列式所以方程只有零解从而向量组线性无关注意在线性无关的证明中，最重要的方法是定义法，设然后对此式恒等变形（一定从已知条件中找信息），设法证明有，这样也就证明了.例3设维向量组（1）:的秩为；（2）：的秩为；（3）：的秩为.证明.分析因为秩是最大线性无

3、关组所含向量的个数，所以要先设出最大线性无关组.证明若=0或=0，结论显然成立.若且，不妨设是的一个最大无关组，是的一个最大无关组，则可由线性表示，所以的秩.注意在向量组秩的问题中，往往以最大无关组为桥梁，利用秩的概念、最大无关组的概念来建立向量组之间的联系，使问题转化而加以解决，这种方法应有所体会.例4已知，证明.分析只需证明与等价证因为，可知可由线性表示，可由线性表示，所以与等价，从而它们生成的向量空间相同，即例5证明：维向量组线性相关的充分必要条件是至少存在一个维向量不能由线性表示.证必要性反证法：如果任何维向量都可由线性表示，则可由线性表示，于是线性无关，矛盾！充分性反证法

4、：如果线性无关，则是的一个极大无关组，从而任何维向量都可由线性表示，矛盾！注意反证法是线性相关性证明中常用的方法，应予以重视.