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1、矩阵及基本运算(杜丽英)l 教学目标与要求使学生理解矩阵的概念。熟练掌握矩阵加法、数乘、乘法及逆矩阵的定义及它们满足的运算算律。l 教学重点与难点教学重点:矩阵的乘法运算;逆矩阵定义。教学难点:矩阵的乘法。l 教学方法与建议在引入矩阵的概念时,通过几个引例说明矩阵在生产实践和日常生活中有广泛的应用。在讲矩阵的基本运算时使学生看到,有些运算与数的运算一致,有些则不然。用学生熟悉的变量替换引入矩阵的乘法会使其定义更直观,便于学生理解,对于矩阵乘法不满足交换律、消去律除举例说明外,还需进一步说明有些幂指算律不
2、成立,有零因子等。l 教学过程设计1.矩阵概念的引入引例1:线性方程组的解取决于系数和常数项,线性方程组的系数和常数按原位置可排为一个数表引例2:某航空公司在A,B,C,D四个城市之间开辟了若干条航线,如图所示表示了四个城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接AB,某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有ABCDA0110B1010C1001D0100四个城市间的航班图情况也可用表格来表示,其中1表示有航班,0表示没有航班。某航空公司在A,B,C,
3、D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,引例3:甲、乙两人玩石头、剪子、布游戏,下面的表格反映甲的赢得情况,其中甲胜得1;甲输得–1;两人相同为0。乙石头剪子布石头01-1剪子-101布1-10甲2.矩阵的定义(1)定义1:由个数排成行列的数表用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即,简记为.①称为的行列元素④称为方阵②称为实矩阵⑤称为行矩阵或行向量③称为复矩阵⑥称为列矩阵或列向量(2)几个特殊矩阵零矩阵:所有元素都是0的矩阵.即单位矩阵;数量矩阵对角矩阵上三角形矩阵;下三角形矩阵例1:设变量可由变
4、量表示为称之为由变量到变量的线性变换,它与矩阵是一一对应的.3.矩阵的基本运算定义同型矩阵:指行数相等、列数相等的矩阵. 矩阵相等:设,,若,称.(1)线性运算:, 加法:数乘: 负矩阵: 减法:算律:设为同阶矩阵,为常数,则有① ⑤② ⑥③ ⑦④ ⑧例2设, 满足,求.解(2)矩阵乘法:引入:设有两个线性变换(Ⅰ) (Ⅱ)若想求出从到的线性变换,需将(Ⅱ)代入(Ⅰ),整理得(Ⅲ)分别比较(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)式的矩阵,,线性变换(Ⅲ)称为线性变换(Ⅰ)与(Ⅱ)的乘积,相应的矩阵C称为矩阵A与B的乘积,即C=AB,
5、或=定义:设,其中元素[注]的列数=的行数。的行数=的行数;的列数=的列数. 与的先后次序不能改变.例3设,则例4,,[注]无意义.例5,,[注];,,但是.算律: ①结合律: ②分配律: ③ ④,应用:设,,,线性方程组的矩阵形式线性变换的矩阵形式(3)方阵的幂:,为正整数,,算律:①②[注]一般例6,求.解:可以验证:(4)逆矩阵定义:对于,若有满足,则称为可逆矩阵,并把称为的逆矩阵。(或性质:①若为可逆矩阵,则的逆矩阵唯一.并且记的逆为②.③,则.④与都可逆,则可逆,且.一般有规定:可逆,定义,,则有,(,为整数)
6、例7验证:与互为逆矩阵解:由于那么与互逆例8求解方程组,其中解:由例7知,于是即方程组的解为例9设方阵与满足,试证可逆。证:由,有,即或于是则可逆,且例10证明当时,可逆,并且证:因,令那么,同理,因此可逆,并且应用:(1)阶线性方程组求解,若可逆,则(2)求线性变换的逆变换,若可逆,(3)矩阵方程求解设可逆,可逆,且已知,则