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《角动量算符及其矩阵表示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、乐山师范高等专科学校学报1999年第3期角动量算符及其矩阵表示李秀芬杨蕴价·4(乐山师专物理系四川乐山61004)摘要介绍角动量算符的两种等价定义,并给出各角动量算符的矩阵表示,关键词角动量算符本征值矩阵,,。在量子力学中角动量是一个重要的力学量它是用算符表示的为了描述任一量子态,。在算符作用下的性质常将力学量算符写成矩阵形式下面首先给出角动量算符的两种等价,。定义然后再分别计论其矩阵表示,,。定义1对线性厄米算符了若满足了x了一ih了则称了为角动量算符下面再从系统波矢量的转动变换性质来确定系统的角动量。因为系统的任一物理性质都,。可以从它的波函数的对称变换关系来获得角动量
2、也可由转动来获得对空间转动变换算符,,TR(甘,)4一e一争奋了有。下面的定量:,定理李群的无穷小算符I之间满足一定的对易关系而且这种对易关系不随表示空间的:111』一;‘:、不同而改变‘一e扑‘昌,。,,其中C黯称为群的结构常数无穷小算符‘了根据这一定理令*育一盲其笛一言卡尔、y、:,,:分量分别为乞之舀则可将转动操作R(育叻在三维空间中作如下表示1rZ.IJroS·ny100C之Si之R(之二,0,0)-0Cos任二一Sin每x,R(O,之y,。,一}OO⋯0sin任xCosx}nCos之母{一Si任.乙:、esosnl以esesesCe一Si母门0les,,:n:os
3、:R(00任)=SieC母00}Q」。,根据无穷小变换算符的定义华{卜可得。议Jr.les1曰0土1OO产.!门们xwes0O0。R(母、,,K(行0O)a、xCos冬一Sin注⋯a母二行、=。。一1一是、、nos5i每C之0一O‘一旦尽些凶:‘_{卫些些O09氛0O902.,.lesesleses.、尹101.一10!‘旦旦三卫二垒卫边,。件z用.:U⋯母=~l‘、,:由于I-所以有万J、J口,.,土1孟,10O一0一00O一10⋯ihl一h一tiJz一hR,,定义2空间转动变换算符T(育叫的无穷小算符I乘以ih即了一ihl称为角动量算符。·,,,,I本身不厄米但il厄
4、米因而了也厄米同时满足对易关系了X了一ih了与定义1完,。全一致所以两种定义是等价的、、J,、J:,:角动量算符有J三个分量它们有下面的关系Z,土xy,J=J乏+J荟+J里J二J士ijJ广=J、,J沙十Jv,J广=J:,、,Jyz,y,:ihjx,:,、y[J]=ihj[JJ]=巨JJ〕~ihj.,1角动量算符::的对易关系角动量算符除满足上述关系外还满足以下的对易关系艺,;x,,z[JJ]=O(y一y)(1)Z,土,士+、[JJ]=o(J)=J士、ZzJJ=J一J圣士hj-:+JJ一J+J一=ZhJ+一一+ZJJ+JJ=2(J一J爹):上一J士~士上JJJhJ:,:2.角
5、动量算符的本征值由了X了一ih了可得本征值方程ZJ.jm>=入jljm)(2):J拜mm)(3)}jm)=!j,士Cm士J}jm>=蛊}j1)(4)Z,:,,Z二Z,其中}im>是JJ的共同本征矢由(1)式可知J与J和J与J也有共同的本征矢_}j,m‘>、“m“>,但它们。,(2)式中的本征值为:入J-}i的本征矢不一定相同可以证明Zj(j+1)h,,、,,:其中角动量量子数j一O正整数半正整数视系统具体的转动变换性质取值如当,,,,。自旋量子数S一0时i一。(轨道角动量量子数)一。12⋯对电:。子自旋S一时i一S一告音:拼m(3)式中的本征值为~mh,,,。。其中磁量子数
6、m一ji一1⋯一j共(2j+1)个值:(5)(4)式中的本征值为C志一丫(j平m)(j士m+l)h,土,,:由(生)式可以看出J的作用是使磁量子数m增减1对}jm>作用K次则有、、J匕}Jnl>一(}Jnl士k)益:(希尔,角动量算符的矩阵表示系统的态空间是H伯特)空间其中一部分为转动空,,·lR,‘,:R‘,间U另一部分是与转动无关的空间VH空间与这两个子空间有如下关系U~UºVRZ,:,、:U是用{JJ}的本征矢{}jm>}为基矢伸出的空间这些基矢是正交归一的‘m‘=‘‘ajjammR,。角动量算符的矩阵表示就是在U中的任一个不变子空间U育中讨论的Z::z、
7、:,(1)J和J的矩阵表示在JJ的表象中,,‘m‘,jzJ己mm一=C禹=C志ajiam士1知J为准对角矩阵一1C击0一:OC击.·JC.‘·门O0丫厕丫2(21一1)。衡L0二,丫土一J士yJ丰一+Jij.’J一了即曰
